Analisi matematica 1b (parte 2)

Il teorema del valore medio

Se vi sento dire che le funzioni C1 sono le funzioni "continue e derivabili", l'orale si interrompe all'istante! Un esempio importante è il seguente: se una funzione è continua ma non derivabile, allora non è C1. Ma non è vero il contrario. Il teorema III del Barrow-Torricelli afferma che se una funzione è derivabile su tutto l'intervallo [a, b], allora è integrabile su [a, b]. Sia B un valore reale, derivabile su tutto l'intervallo [a, b]. Supponiamo che B sia integrabile su [a, b], allora vale la formula di sopra, cioè B(b) - B(a) = ∫[a, b] B'(x) dx. Notazione: si pone T(B) = B(b) - B(a). Quindi, se T(B) dai le ipotesi è 0, allora B è costante.

Sia f una funzione continua in un intervallo [a, b]. La scomposizione Cadi7lb 7f fan FAOa fai flatXa 7AH742FCX FGDfan XDatelescopioperetc FIFA AAK Alecito applicare è il teorema del valore medio per ogni degni su [a, b]. Se f è derivabile su [a, b], allora esiste almeno un punto c in (a, b) tale che f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

l'C fSupEe AkiXDXK xDi sollecitomoltiplica Per summoXkXk eisu K I ne seguen ÉIKHAK DEEEEICK.itEIAIIHK.ie XKdetta sommaAcf saio gdi RiemannCauchySta in mezzocostante vistascelta di CKla 7lb f aRiassumendo 7lb 76117 E faa Fo15171,612715 76Passandodalla supalprima rispettosegue che 9,5fb flaELaffseconda passandodalla all'inf rispetto Lsegue che fà1 7cal 7s eRiassumendoEf Ff 7ff flotta Rintegrabiledall'ipotesi f ècheallora sonoMa da Catestutte cuiuguaglianzeES cosa'axIBIsinxdx EtCOSE ICOSI COSTI ICOS St oleSeSinai ipotesiOss valgonogelata haBTdi chesi7lb fla fetideIn Fx bvale laparticolare eLiff è unnon da cuiIt faiat bItafa EE7funzionela è laricostruita con teoremadelderivata ipotesilesua stantiT.B tramite l'integrale7103 BanfiProprietà dell'integralegenerali1 LinearitàRfa b è dim infinitavettorialeuno dispERGA 5 funzioni IRdelle IRSsuossiaVI Ka 47GERLA IRAR bEB EBGIRIA un'applicazioneb IR

èIf lineare1 Bfgoffatt Bgaddività Sia qualunquefissatoceja.bg2 ha FERIASi 5cheERA Rgbtipa 171g Ec In valetalIffy caso AddivitabyIf If DELLintegralePositività3 negativitàmonotonia none7 RCAse 74 Fx la be eoudper ex somme superiorif z inferiorieo 17 6 720 0f Re ffase b Vxe agg la beg x eLife Cosa positiva allag ex differenza linearitàef INfabI o fg laEo 5fsinxdx sinxnoo oJlx zo F oIggy o fa Rpovedremo che e 2 egga faff che zonotache oo Itopoichéf Ioma FI OCE Integrale4 Disuguaglianza triangolareRcaLe Reab b vale111 E el'salata 7171DTI 171vale EDim Monotonia labialelati7,171 erga linearitàl'f là AleRca7 b Rca completa17 ile e ragionamentoDirichletf s E7 EIÈf ReaE è 53nonE ReaIgf be poiché costanteContinuaRCA bETeorema teoremadal di5 riduzioneseguirà IIdi annoTonelliSia 7 Rea 720be poniamoTIEPICI 04448419,534 E EXµ epigrafefdi epigrafico hogg questointendedi EpikGif area direvuoicosadi

teorema dovremoMisura IRinoTEI EI IEES Pta EE LbEs aad afa ER affax l'Aiaxlabacxa Cb aaTeorema Criterio di Integrabilità RiemanndilimitataSia 7 IRbaAllora equivalentisonoJ Ria bi eLI VE 517 E76 119,5 Ge ACFo e GIn Foergenerale 9,5Oss ÈSCI misti6 117,6 ftp.f igff XK XK iÀ chiamataoscillazioneSe quantitàquesteIII Ferlasono piccole bga 7it RfaDim bIi E cosìragioniamoe supdicaratterizzazioneESia pero Esca7 6Ee infcaratterizzazione diper TI esce oE fine dièPong GE GEpiuallora va figurama vale Ge esceGe sud'e EAlf Groppa Prop a prod 2haAMettendo AA siassieme EFFE663SCI 117 II E7il membro RfapoichéII bma elitTifE117,6517,6 figuraJEili 76 incomesotaffetà aaII ffàACFvale G SfideE Def diDef di That chetal che infè unè supunfatt Ibf EE arbitrarioèDTI mao Richiestissimafpf LI 1 Rfa be i all'oraleIntegrazioneteorema partiperfSiano c fa b allora valeeglbf It'g893gi ftp.gcagcaèDim ben

postotuttofg esiste1 Aè derivabilegiacchécontinuai 49,53Ccontinua giacché gegII è sucontinua aibThIIg Rfae It'gAnalogamente si cheprova esisteIs ÈàÉ7'578791189 Eè lecito poichéTBformula èfg integrabileLeibniz somma7g fig di forzGalà L 719 IntimeEffigeda la tesicui fxcsinxiaxL'xcosxdxEX exlablnxaxIII thx.DE Itboca 38Genx fa 7RCA 7207 20bES eDim fineb dio menoa tutte6 staqualunque èb sicuramenteefinepiù 8D117 2117,6 20PROP 2 alteraÈposto fal sup tabfzo7 RCA 5EIlItza 7I gerla b gustise bfax eMa È KGLixL Ra7A Hp Eget bzox Ia sgg zo14 geLLph 20a alignx Ix dicosa sinEx fxsindab fbsinxd costafxsindabtfbcosxiaffs.inCOSADisinh Fx IR8103 EoI monotoniaSink funzioneè una strettamentex su IRcrescenteSinha x oo LE XO O IxSinhaDICOLA I Pcost è decrescentex Loper ecrescente per oGrafici NÉsinha per stoÈ COSKA _È É ExEsince zotante Ecoshlx

Per studiare la monotonia di una funzione, è necessario analizzare il suo insieme di immagini. In questo caso, l'insieme delle immagini è l'intervallo [3, 1].

La funzione sin(x)cos(y)tsin(u)cos(x)ttusin(x) è una funzione composta di alcune formule nel calcolo, come l'integrale e le funzioni iperboliche.

La funzione sink(x) è iniettiva e monotona crescente. La funzione sink(x) è anche invertibile, con la sua inversa chiamata arcsink(x).

La funzione cosh(x) è la funzione inversa di cos(x), poiché non è invertibile. Questa funzione è anche pari e iniettiva, ma non è strettamente crescente.

Scegliamo di considerare un intervallo monotono per convenzione. La funzione cosh(x) è invertibile su tutto l'intervallo IR.

La funzione arcsinh(x) è l'inversa della funzione sinh(x) e può essere utilizzata per calcolare il derivato delle funzioni iperboliche.

Il teorema di derivazione delle funzioni inverse può essere utilizzato per calcolare la derivata dell'inversa delle funzioni iperboliche.

inverseEyeSink CxDLNADesettcoshix4 suoreProsecassingaffarbrate1111 Ein determinare l'equazioneEsercizio chela settsinhdescrive funzionetE eSinha 2 vuol dire trovare_è4 IR eE l'inversa42e _è 2424e i èPongo Eoex2 aut I O42 1 TEt.ir UIla Misoluzione 4 LoTE FUperche Y IREl'unica accettabilesoluzioneTHIUt SOt TEE Ut atti sinkselog vero 4settsinhex Utrilogxfai lo settcosh settantastesso per exSinha fogliettisehx I FA 24Uto TELA FICostaper FATICHICosto tee al'III soy UtaLogex èper FU4 IREetesettantaElogialeCalcola derivate3Cuspidi puntie angolosi7 9,5 IRI 7 èE doveXo continua 7CtoLCxtPoniamo ftp.t ug X to7CtoICxtx.tlJ g X toNel deialmenocaso duecuiin unofigo finitol il