Analisi matematica 1b (parte 4)

Formattazione del testo

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convessità della funzione

Per funzioni derivabili, la convessità è una proprietà importante. Se una funzione è convessa su un intervallo I, allora è anche crescente su I. Viceversa, se una funzione è crescente su I, allora è convessa su I.

Supponiamo che f sia una funzione derivabile. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. f è convessa su I
2. la sua derivata f' è crescente su I
3. la sua derivata seconda f'' è non negativa su I

Interpretazione geometrica:

Per ogni punto x₀ in I, la retta tangente al grafico di f in x₀ sta sotto al grafico di f.

Dimostrazione:

Sia x₁ e x₂ due punti in I con x₁ < x₂. Supponiamo che f sia convessa su I. Allora, per ogni t in [0,1], abbiamo:

f((1-t)x₁ + tx₂) ≤ (1-t)f(x₁) + tf(x₂)

Se supponiamo che f sia crescente su I, allora:

f(x₁) ≤ f(x₂)

Quindi, abbiamo:

f((1-t)x₁ + tx₂) ≤ (1-t)f(x₁) + tf(x₂) ≤ (1-t)f(x₂) + tf(x₂) = f(x₂)

Quindi, f è convessa su I.

Riassumendo:

1. Se f è convessa su I, allora f' è crescente su I.
2. Se f' è crescente su I, allora f è convessa su I.

Vediamo un esempio:

Sia f(x) = x². Calcoliamo la derivata f' e la derivata seconda f''.

f'(x) = 2x

f''(x) = 2

La derivata f' è crescente su tutto l'intervallo dei numeri reali. Quindi, f è convessa su tutto l'intervallo dei numeri reali.

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