Analisi matematica 1a (parte 6)

Gunz

di

dea

Possono limite

la

dine di

Si con prop

dalle

teorema ponte

il

attraverso

ricavano

si

o Proprietà elementari dei limiti di funzione – AA 2021/22

già

che CdL Matematica – Prof. A. Baldi

delle

abbiamo

succ (Unicità del limite)

Teorema 1

Siano e una funzione a valori reali. Siano e . Se

R R R

✓ ! 2 2

A f : A x D (A) y , y

0 ext 0 1

, e , allora .

lim f (x) = y lim f (x) = y y = y

x!x 0 x!x 1 0 1

0 0

Vale, come nel caso di successioni, (con la

l’algebra dei limiti e l’algebra dei limiti estesi

dovuta attenzione a non avere forme di indecisione) e dunque diremo che ”il limite della somma è la

somma dei limiti”, ”il limite del prodotto è il prodotto dei limiti” etc...

Per funzioni convergenti si ha:

(Algebra dei limiti).

Teorema 2

Siano Sia e siano tali che e

R, R. R

✓ ! 2 2

A f, g : A x D (A) L, M lim f (x) = L

0 ext x!x 0

.

lim g(x) = M

x!x 0

Allora

1) la funzione ha limite e

R

!

f + g : A lim (f + g)(x) = L + M .

x!x 0 l'uso

dim

la con

2) la funzione ha limite e

R

!

f g : A t ponte

del

lim (f g)(x) = lim f (x) g(x) = LM .

x!x x!x

0 0

3) Se allora la funzione ha limite e

6

L = 0 1/f 1 1 1

lim = = .

f (x) lim f (x) L

x!x x!x

0 0

Come per le successioni osserviamo che se allora

Osservazione: R,

2

l

() () |f

lim f (x) = l lim f (x) l =0 lim (x) l| = 0

x!x x!x x!x

0 0 0

(per vederlo basta scrivere le rispettive definizioni).

In analogia al caso delle successioni per l’algebra dei limiti estesa si ha:

(Algebra dei limiti estesa).

Teorema 3

Siano Sia

R, R.

✓ ! 2

A f, g : A x D (A).

0 ext (superiormente)

1)

(

1) Se e se per la funzione è definitivamente limitata,

!

lim f (x) = +1 x x g inf eriormente

x!x 0

0

allora 1)

( ,

lim (f + g)(x) = +1

x!x 0 1) 1)

( (

(in particolare si ha che , se e se esiste

lim (f + g)(x) = +1 lim f (x) = +1

x!x x!x

0 0

1

(+1)

e ).

6 1

lim g(x) = M M =

x!x 0

2) Se e allora esiste

R \ {0}

lim f (x) = +1 lim g(x) = M =2

x!x x!x

0 0

8

< 2

+1 se M ] 0, +1]

·

lim (f (x) g(x)) =

x!x 0 : 1 2 1,

se M [ 0 [ .

3) Se e è definitivamente limitata per allora

!

lim f (x) = 0 g(x) x x

x!x 0

0

·

lim f (x) g(x) = 0.

x!x 0 1)

(

(<)

4) Se e per ogni si ha allora esiste .

1

2 \ {x }

lim f (x) = 0 x A f (x) > 0 lim = +1

x!x 0 x!x f (x)

0 0

(1)

5) Se allora esiste

lim f (x) = +1

x!x 0 1

lim = 0 .

f (x)

x!x 0

Si hanno le cosiddette che riguardano i casi che non rientrano nel teorema

forme di indecisione

precedente:

per la somma “1 ” (quando una funzione diverge a e l’altra diverge a

1 1);

+1

per il prodotto “0 ”, (quando una funzione è divergente e l’altra infinitesima);

· (±1)

1

per il quoziente “ ” (quando entrambe le funzionii divergono),

1

oppure “ ” (quando entrambe le funzioni sono infinitesime).

0

0

Valgono inoltre:

(Permanenza del segno) Siano e Se ed esiste

Teorema 4 R, R. R

✓ ! 2 2

A f : A x D (A) l

0 ext

esercizio

tale che Per

(risp. l<0)

lim f (x) = l > 0 . e

CER o

x!x 0

Allora esiste un intorno di tale che

U x l

0 (risp. f (x)<0)

f (x) > 0 letto live

di

dive

per ogni . dalle

2 \ {x }) \

x (A U

0 Succ

di

Ricordiamo inoltre la seguente proprietà che è una generalizzazione del teorema della permanenza

del segno.

Se e esiste un intorno di tale che per ogni .

R

! 2 2 \ {x }) \

f (x) l m < l U x f (x) > m x (A U

0 0

Se e esiste un intorno di tale che per ogni .

R

! 2 2 \ {x }) \

f (x) l l < M U x f (x) < M x (A U

0 0

In particolare

Se esiste un intorno di tale che è LIMITATA per ogni .

R

2 2 \ {x }) \

l U x f (x) x (A U

0 0 è

linfa

mentre poiche

locale

2 (risp. superiormente limitata)

1)

(risp.

Se esiste un intorno di tale che è per ogni 2

l = +1 U x f (x) inf eriormente limitata x

0

.

\ {x }) \

(A U

0

Vale inoltre il seguente

(Confronto) Siano Sia Se

Corollario R, R.

✓ ! 2

A f, g : A x D (A). lim f (x) <

0 ext x!x 0 E

Xo

lim g(x)

x!x 0 th o

allora esiste un intorno di tale che per ogni .

2 \ {x }) \

U x f (x) < g(x) x (A U

0 0 EEE

og

if GIA

In analogia a quanto visto per le successioni, enunciamo il teorema dei due carabinieri nel caso di vale

non

ma

limiti reali e di un solo carabiniere nel caso di funzioni divergenti: 0C

(Dei due carabinieri) Siano e Sia

Teorema 5 R, R.

✓ ! 2

A f, g, h : A x D (A).

0 ext

Se e esiste un intorno di tale che

R

2

lim f (x) = lim h(x) = l U x

x!x x!x 0

0 0   2 \ {x }) \

f (x) g(x) h(x) perogni x (A U dia

Lo

0 con

Ponte

Teo

allora esiste lim g(x) = l .

x!x 0

(Un solo carabiniere) Siano e sia Siano tali che

Teorema 6 R R

✓ 2 !

A x D (A). f, g : A

0 ext

esiste intorno di tale che

U x 0  2 \ {x }) \

f (x) g(x) perogni x (A U .

0

Allora

1) lim f (x) = +1 =) lim g(x) = +1 ;

x!x x!x

0 0

2) 1

lim g(x) = =) lim f (x) = +1 .

x!x x!x

0 0

3

carabinieri

Dim to 2 al

grazie teorema

ftp.afl

Ala fil ponte

dire

equivale che

a Aiko

succ Te

a

presa in

Xp to

you de per sto

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Acta de

Definitivamente U

calata in poiche then

In EIN T.C

Un Alla In

E Xu E

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Lcn

flute gun e e

timoni

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carabinieri

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Teo

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III

allora il teorema