Appunti Analisi matematica 1A

Introduzione

A meno che non manteniamo il concetto di insieme, ovvero una collezione di oggetti detti: elementi dell'insieme.

Inoltre deleghiamo ancora una volta ad ogni oggetto: selezionato uno degli oggetti dell'insieme che non contiene altro, es. {5,4,3}, degli oggetti altrui che ne racchiudano per almeno un certo numero t di elementi, un simbolo chiamato lista.

Vedere nell'esempio (J = {2,3,3}) un altro modo per definire un insieme è attraverso un predicato, cioè una proposizione o affermazione che può essere verbale. Es: P(k): k è divisibile per 3.

D: {x ∈ ℕ: ^div(x, 3)}

• A ⊆ B (A è un sottoinsieme di B)
• B ⊆ A (B è un sottoinsieme di A)
• Unione di insiemi
• Intersezione di insiemi

Proprietà unione e intersezione

Identità: A ∪ ∅=A, A ∩ A=A

Commutativa: A ∪ B=B ∪ A, A ∩ B=B ∩ A

Associativa distributiva di assorbimento: A ∪ (A ∩ B)=A, A ∩ (A ∪ B)=A

Insiemi numerici

Oltre all'insieme dei numeri naturali, esso può sollevarci dei numeri interi ℤ={0,±1,±2,...} è l'insieme dei numeri razionali.

Con le proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione si otterrà una classe di elementari. L'elemento può essere detto: Assiomi di campo ordinato.

Proprietà:

• Commutativa - elemento neutro
• Associativa - elemento opposto
• Distributiva

N[un insieme ordinato, es. ^val _fm=cmx] =elementi precedentemente definiti

È UNA FUNZIONE. Tracciando varie rette parallele all'asse delle ordinate (y) queste intersecheranno il grafico della funzione al più in un punto (possono non intersecare, mai due o più).

FUNZIONE INIETTIVA

∀x ∈ A, allora la funzione f si dice iniettiva se ∀y ∈ B l'equazione y=f(x) ha al più una soluzione. Abbiamo unicità della soluzione dell'equazione f(x) = y.

∀x₁, x₂ ∈ A, allora f(x₁) ≠ f(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ A

FUNZIONE SURIEITTIVA

∀x ∈ A, allora la funzione f si dice suriettiva se ∀y ∈ B l'equazione f(x) = y ha almeno una soluzione. È garantito l'esistenza di soluzioni dell'equazione f(x) = y.

Ogni valore del codominio è immagine della funzione. ∀y ∈ B ∃ x ∈ A : f(x) = y

FUNZIONE BIETTIVA

∀x ∈ A, allora la funzione f si dice biiettiva e inversa se ∀y ∈ B l'equazione y=f(x) ha una ed una sola soluzione. La funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Dal grafico è possibile capire quando una funzione è iniettiva, suriettiva, oppure bijettiva grazie al test delle rette orizzontali:

• La funzione non è iniettiva. Ci sono punti del grafico che le rette orizzontali (ovvero con equazione y=c) intersecano più volte.
• La relazione non è una funzione. Ci sono rette orizzontali che non intersecano il grafico della funzione o in due punti.
• La funzione non è iniettiva. Ci sono punti del grafico che le rette orizzontali intersecano più volte.
• La funzione è suriettiva. Le rette orizzontali, incrociate col grafico della funzione, sono intersecate almeno in un punto.
• La funzione è iniettiva. Le rette orizzontali incrociate col grafico della funzione al massimo in un punto (anche nessuna).
• La funzione non è suriettiva. Ci sono punti del grafico che non sono mai intersecati delle rette orizzontali.
• La funzione è iniettiva.
• La funzione è suriettiva. ⇒ La funzione è biiettiva.
• Il grafico della funzione è sempre intersecato una ed una sola volta, per ogni retta orizzontale.

Funzione Seno

Y = sin x

dom : ℝ   im : [-1, 1]

periodo di periodo 2

ℝ è dispari

Per rendere invertibile la funzione seno e ottenere l'inversa si restringe il suo dominio all'intervallo [-/2, /2],

-continua sia invertire

ℝ è strettamente crescende in [ -/2 + 2, /2 + 2]

decrescente in [ /2 + 2, 3/2 + 2]

∈ ℤ

Funzione Arcoseno

Y = arcsin x

dom : [-1,1]   im : [-/2, /2]

ℝ dispari

ℝ è strettamente crescente

ℝ è invertire e dunque invertibile

Funzione Coseno

Y = cos x

dom : ℝ   im : [-1, 1]

periodo di periodo 2

ℝ è pari

Per rendere invertibile la funzione coseno si ottiene l'inversa restringere il suo dominio all'intervallo [0, ]

-continua sia invertire

ℝ è strettamente crescente in [ + 2, 2(+1) ]

decrescente in [ 2, + 2 ]

∈ ℤ

Funzione Arcocoseno

Y = arccos x

dom : [-1,1]   im : [0, ]

ℝ pari

ℝ è strettamente decrescente

ℝ è invertire e dunque invertibile

Funzione limitata

Sia f: A → ℝ. La f si dice limitata superiormente in A se esiste M ∈ ℝ tale che

f(x) ≤ M ∀ x ∈ A ovvero inf f = f(A) è ordinato lim. sup. in ℝ.

Sia f: A → ℝ dice limitata propriamente in A.

Sia f: A → ℝ la f dice limitata inferiormente in A se esiste M ∈ ℝ tale che

f(x) ≥ M ∀ x ∈ A ovvero inf f = f(A) è ordinatamente lim. inf. di ℝ.

f si dice anche limitata propriamente in A.

Esempi

• La funzione f(x) = sin x è limitato in ℝ
• La funzione f(x) = x² è limitato inferiormente ma non superiormente in ℝ
• La funzione f(x) = x³ non è limitata superiormente e inferiormente in ℝ

Estremo superiore

Sia f: X → ℝ e .

Si definisce:

• ,

se f è limitato superiormente in A eliminati.

estremo superiore di f in A =

Esempi

Estremo inferiore

Sia f: X → ℝ e .

Si definisce:

• ,

se f è limitato inferiormente in A eliminati.

estremo inferiore di f in A =

Esempi

Massimo e Minimo Globale (Assoluto)

Se e

Massimo Assoluto

M =

Minimo Assoluto

m =