Analisi 1a

AXE2 fa massimo OunAprecedenteNell'esempioE Unico sopraTeorema A come unico èAdi questomattinoilesistese nuMiniwo uuin assurdo Amattini didim.fr asiamoxecheSupponiamo che taprovarevoglio verificaPer definizione xfa Aeexa1 AX2 E verificaPer definizione x Afaal eIbis Xa2h AEpers A Afa Me 2ms D XIXX EEEA Xper 1dg AA DMe Etafa Ti2 Eeabbiamo IsictietricaRiassumendo attesed'dièrelazioneLa Admaggiorentil'insiemeRenato Ma deiconESERCIZIO A2ASe MAMA CCD DEs minimodell'unicitàProvare2 Adi cieminimo nasino denotailSe esistono3 moxaNinachedimostramoxaAminrispettivamente EseyngitmericoNOAmina A4 LaE iwoxA4morta.ua waxLwoxAi limitatoAar superioreSi èchediceDefinizione inferiormentemaggioranteunduranohase minoranze limitatolimitato superiormentese èdiceA siasi inferiormenteche limitatoDefinizione superiore Siaestremo limitatoAER A 0 superiormente AdiSi superioredice estremo Adidei maggiorentidell'insiemeil minimo seesistequandoPoiché

minimoilOsservazione se esiste saràsuperiorel'estremoè unicoesiste scontataènonl'esistenzamaunicoIndicheremo l'estremo superiore di A con SOPArapiti funzionepegAB 0noninsiemiSiano AFE BB ossiaAda inrelazionef unasia sefunzioneF è unachediceSi iosaTÉTÀIETTI airs eriSTal scrivecaso siin BAF Flaa F qerelazione conB indielementoFla quell'unicoèove Eulerodiinputdetta entrataè Diagrammia B Codominiooutputuscita aftaAèFla detta DominioEx definitaRIRda cosìrelazionelaRSia Rb 5 aa rappresentatoèchefunzione eècheprova non unadall'insiemeR 923 SREeR Fb ER Rbte IRRRRX Z BA funzionefSia unaDefinizioni Csi pone aristrettaA vuoto funzioneC noneSiaRestrizione1 BCInsidenuovadefinisce unasi ggxpe dominionuovodetta finerestrizione digraficoSi pone2 fabAeBgroff Ax aea b e ènonrealtàinfgrafico didetto fche pensataaltro relazioneCome Bf a ESi NBponeInsieme immagine esserepotrebbemaABla

Attenzione: non modificare il testo in altro modo, non aggiungere commenti, non utilizzare tag h1; Bdafla diversof eA e BAasinomiedetto immagineinsieme Deb ponesiPer DeoPreinwagine ogni4 insiemistica oPreinwagineDflaEA ef D Ddia immaginecontroènon un AD EN.B felevamentoQua i fES FI SIA BEgrafff ERHO L è piccoxD ax NEEPERIERHERSHERFIR I FaCse o gragliao adR3 0,0 2DT JKD ERIALD D E 99 21IR 39 3E ERIK_te 0I EDD i BiettivaDel suriettivaIniettivo diceEsso sifunzioneBSia Af unascrivesiiniettiva e seg aafa A flaae fartaa D e asesì suriettiva scrivesieBSLA sebiezionebigettivabiunivocabiettiva o suriettivasiaf iniettivaè sia se valese einiettivaf èfunzioneUna disegcontronowindeosservazione 1 fa aIla aA pVai e92 sesolo valesuriettivaf èfunzioneUna se eIi Slathe AlbB Ia eESERCIZIO cheB provaFD e9 EDFA D BNel cos DB strettoel contuno4cheprova viene f suriettivaèCosa sesuccede f cflccheA provaete2 A BNel caso Laceche Zvieneprova fsuccedeCosa è iniettivaseDef Composizione funzioni conDf A B CSiano g CFCA e BECseverificatoad esempioèciò funzione seguentelaAllora benè postoIIAaf flatg goffa gfcompostog B È sirRf R REs 9 Sexa XLog flexf ED egiax egif ER 0,2gigli ga ee anchemasuccederepuòIn fog gag succederegenerale nonfog frisulta gVfgènon pitalf SRREs 8 E3ed FXEE.toEfog fben postaè gbenof ènon postag IR CostoJIRIinfatti haallora none3 fsen o goimmaginiR ASe èÌazione insiemeun qualunque27109 AA Esidasi pone aDetta AIR9 DIRIRfunzione identità DXDefinizione funzione invertibileBAf funzioneD grafiariunasia BEssa Datadice invertibile sesi esiste g Stinvernofa Agha eaIS fogliogol daossia esercizifogth Bfiglia eS ossiaD iaptalIn la fchiama inversafunzionesi dicaso eg Sesso va sottounicaèfaidenotasi g f FIBnon e I inversafunzpreinwaginehafSe tale è unicaun'inversa inversaDimostrazione dueSiano fdig g inversee conEgicideVoglio gprovare daDimostrazione assurdoper finireI b B tale che be gattigI membria entrambiapplico usoi eAf B

funzioneSia unaTeorema fAllora biunivocaf invertibile èè a IsiaInvertibileDimostrazione pfSia f invertibileèf Dinvertibile f iniettivaèossia osuriettivael'iniettivitàProviamoaSupponiamo areache averifichiamo fla 8192 membri gita galadapplichiamo entrambi iag Taper EaterISI Dgifla qf. è iniettivaallora ama 92 ehProviamo la Be suziettività FCAflathe B Iaea bossiaMa 5D 11915uso bfigli fla Aegibt aoveuA Isuriettivitàf. è suriettivaMì puoi Emisbiunivocaf gècheinvertibilehaSiA A Slabfb B IIe asiriani saggioE laben funzionedunque seguentepostaA elementoquell'unicoèB 9g laA cui uscita 8attraversoinbb g AAgb 9 con ea incomeossia ha the BMa 5allora 81915siho DprovatoResta da Dprovarefa Ae gillache aprovo laMa Aelementoquell'unico cuiègliela inè8 giaattraversouscita verifica taleMa a proprietainiettività di gdallaDunque SeCidIle ag Baldi28 09 AN.B EIR 2A 2XLOEXTeorema

dell'estremo superiore dell'insieme A, limitato superiormente, è l'elemento A* che è superiore a tutti gli elementi di A. Se l'insieme A non ha un massimo, allora A* è l'elemento di A che è maggiore di tutti gli elementi di A. Indichiamo con B l'insieme dei maggioranti di A, cioè l'insieme degli elementi che sono superiori o uguali a tutti gli elementi di A. Per definizione, A* è il minimo di B. Inoltre, se B ha un massimo, chiamato M, allora M è l'estremo superiore di A. Si deduce quindi che A* è l'unico elemento di B che è maggiore o uguale a tutti gli elementi di A. In analogia, si può dimostrare il Teorema dell'estremo inferiore: Sia IR l'insieme dei numeri reali, inferiormente limitato e non vuoto. Allora ha un minimo, indicato con A*. Definizione: A* è l'estremo inferiore di A se A* è inferiore a tutti gli elementi di A e non esiste un elemento di A che sia minore di A*.

limitatoinferiormente definiscesi deiAinferiore il minorantidi massimoestremoscriveremoe Afa 9 dièla minoranzeUEmaxinproposizione BSiano A Bluntatit.CARe vuotinonAllorag SUPAESUPB infamiainfranga2 ingiYmmBop BDenota Bda Rd Supa e1 con supfaQed Ae didefper maggioranzafb Bdabe e haAInoltre B FaeEdae Apoiché asifa iiL'insieme maggiorentidaA comeMa ili deiè Aminimo di quindimaggiorentida è