Analisi matematica 1 - esercizi e teoria

FONDAMENTALE

TEOREMA entrambe

DEL INTEGRAZIONE

ZONA DI

· a b]

[a

Integralelin

INTEGRALE (D) ,

integrande

CALCOLO f(x) funzione

· b

state

stialentegiando

continua [aib] dx (f(x)

f(x) in f(x)

· : 0

be

>0 ,

F(X)

integrale

funzione :

La (f(x)) f(x)-(f(x))

[(t)d) =

-

derivabile

/ e

F(x) Costante

Funz

= 6

-(x)dxSdx/fxd

Isidfdx

coe

funz COSTANTE

a f(x)

X Sia una m

,

. ·

F'(x) f(x) VXE [aib] O

KE[aib]

= f(x) conKEIR

K

=

1

+h

di F(X) , Il

.

=

Incrementale : Il

del "

facendo rapp

conheo

em

Em Allora : [ v

. 6 r I

-

h

Ad

X (CONSEGNO

+ Jf(x)

= (b a) AREA

-d 1 =

-

= . -

=

F(x F(x)

h) RETTANGOLINO

+ · DEL

fim - "Sase' |

| r

x

Calezza

n

h 0

- h n

h (P)

MEDIA

TEOREMA DELLA

FUNZIONI

X TRATTI

+ COSTANTI A

o 7xo[aib] f(x(h))

in T

fim W

:

f(d .

.

=

= f(x) CONTINUA

f(x) =

[aib] MIN

FMAX

CONTINUA

Sua e

in

/Ad ht 0

f(x) N funzione A

f(x) SCALA

↓ Sia

K2

= una

I 7 xo

Allora [a b] :

Sche

kn ,

h nell'i-esimo f(x)2M

il valore ki

assume

hb <

m

a

xb =

a -

= x +

= estremi

41 /A ed

avente

It Intervallo

An come b

b b

Xi-2 b

Xi

X(X(h)1x h /mmdx/f(x)dx/Md

+ =

. allotta f(x)

:

>

> xn

- in"

aixo ↳

b a

= Algebrica

(f(x)dx Somma

Xiz)

(xi Ki

= = 6

.

↓ - ↓

(CONSEGNO

AREE 6

DELLE

2) m/1dx/f(xdxMJady

+

i =

f(x(h)) &

em ·

em f(x) RETTANGOLI

f(x(h)) DEI

= = a

X(n)

n -

+ 0 X BASE DELL'

+ /(dx

i- Esimo

PRIMITIVA

DEF ALTEZZA )

DELLI a)

m(b -)(b

RETTANGOLING = -

-

I- RETTANGOLINO

ESIMO

f[X)

di

PRIMITIVA

F(x) se

è una 6

m((f(x)dx

ed M

detinabile COSTANTE

FUNZIONE =

NON

è

FCX) : f(x)

f(x)

F'(x) = ↑ a)

(b -

Ricapitolando ↓

h(x)

: INTERMEDI

VALORI

TEOREMA

/h(x)dx

Tex

è

di f(x) una

La funzione integrale A = f(x)

V (m M)

- Fxo Yo

yot :

di =

f(x)

Primitiva ,

- / f(x)dx

=>

A f(x)

5x0

T : =

PROF

SPIEGAZIONE

...

PRIMITIVE

DELLE

PROPRIETÀ >

b . -

a - a

-

M

E MAI UNICA

PRIMITIVA NON

LA E Xn)

(X0

ad P

esh(x) Xz

qualsiasi Xa

,

primitive

due scala

funzioni =

Prendendo della a

Considerio ,

, ....

f(x) ,

funz

stesse considero

della

E(x)

F(x) b

funz h(x)

di f(x)

che ,

. A SCALA

sempre

seano inf(f(x)

sinfh(h(x)dx Xi]

- [aib]

intervallo x e Xx

f(X) :

stesso SOVRASTIMANO A

Che mi

nello ,

= 2

!....

b)

h(x)xf(x) [a

f

+x

: -

. ,

f(x)

(x) F2(x) ↑

costante

funzione

F C

ALLORA S

continuità

di

=

- >

= !

piccoli internali

, gli

più no

sono Sup(f(x)

insieme

un Xi]

x e [Xiz

che l'estremo Miz

DELL'Insieme

INF

migliore

scelgo aspetto

che :

e

funzione scala

della mi "Xn

dunque = 2

de

a ,

funz

enfinito . -

Fz(x) 1

F(x) C

+ A

cancida

= con

è l'approssimazione P

cui

tra

scala

a ② Mi

Mi

Sceglietta (S(p)y

6 ③ -

sup(/g(x)dx A

g(x) : s

=

funz =

considetto A

I

.

analogamente se xf[ab] DECGU

inf

isceme

no SOMMA

un

considero funz

f(x) =

,

1 di

sempre cu 3(p)} 1)

(

tra

funz B

↓ mk(Xk

S(P) XI INF

INTEGR

f(X) =

= 0

SOTTOSTIMANO Dell'insieme -

Che Mi -

sup

l'estremo

che .

.

aspetto

Scegletue , 1

k =

Coincida A

con SOMMA DEGU

atA bEB =

b

a X12)

, (X-

S(P)

inf[ Mi

Sup[ Sup

INTEGR

y .

sidiceche

se FCER

= => b

...

... alc

:

è REIMANO

f

Se S(P)

allora

continua

* s(P) 1

RIEMANNINTEGRABILE è

f(x)E e

f(x) SECONDO

INTEGR

UNICO

C

Se

6 , -

.

integrabie secondo

è a(

COMUNEE/f(x) d f(x)dx C

VALORE

SU[a 6] =

ED IL RIEMANN

, .

b

aff(x)dx

DEFINITO

L'INTEGRALE

CALCOLARE L'INTEGRALE

CALCOLARE

INDEFINITO/f(xidX

b)

[a

f continua in .

Dif(x)

⑦ PriMITIVA

Trovara cioè

una 6]

difin [2

PRIMITIVE

DELLE

2 INSIEME .

nell'intervallo b]

[a

funzione che

una , Integrale

Si indefinito

chiara :

deminata

f(x)

abbia prima

come : Sf(x)dx

F(x) F'(x) f(x)

: = 6

#S /f(x)dx

.

② primitiva

la

calcolare REAL

Numero

=

eF(b)

F(a)

Co

INTEGRAZIONE

ESTREMI DI

NEGLI INSIEME FUNZIONI

DI

Jf(x)dx

⑤ =

ed

F(A) F(B)

SOTTRARRE :

↑ FONDAM

FORMULA

F(a) F(b)

f(x) . INDEFINITI

= INTEGRALI

(IM)

- TABELLA

INTEGR

DEL CALCOLO

a =

[x3]

* (xdx

53 03

/ 3x2dx 725

=

Esempio = -

= Je ex

dx c

+

= X

Sa al

" dx

dif

G(X)

(RM) PRIMITIVA =

( 2n(x) + c

=

FONDAMENTALE

T

Per . /"fdt

F(x) PRIMITIVA /benxdx

= -cosX c

+

=

/cosxdx penx + c

=

CARATTERIZZ PRIMITIVE

T

per . . /2xdx Angx + c

=

F(x)

G(x)

cERR C

= +

=

:

= 12 arcosX + C

=

F(a) tidt

1

G(al C

+ =

+

= X2

1 +

b oucaenX

1 C

+

S =

b (f()dt

( f(t)dt

G(a)

F(b) G(a)

G(b) x2

1

c

+

+

+ =

=

= - arctnyx

(22 C

+

=

x

PRIMITIVE ELEMENTARI F(x)

F(x) f(x)

f(x) 1

n COSX

+ sen x

Xn *

2

n -CosX

sen X

eY eX -log(cosX c

AngX +

anal 1 tagX

-

cos2X

= cotngx

eni1 x

# arcaenx

-#2 arcorx

x arctnex

① SOSTITUZIONE

PER

INTEGRAZIONE

INTEGRAU INDEFINITI

PER Q INTEGRAZIONE PER PART

FORMULA INIEGRAU INDEFINITI

-g'(t)dx

( f(g(t)

Jf(x)dx PER

= ↑

& g(t) /

x = (f(x)g(x)dx

f(x)g(x)

f(x)g'(x)dx = -

g'(t)dt

dx = ) -logico

-logt x

= c

dt +

(hdx /xcosxdx

=

= Xenx-/1

JAng()dx cosx

penxdx c

Es +

Xmenx +

=

=

= =

. .

t

↳ cos(x) f(x) f'(x)

= 1

X =

=

dt

dx

ben(x) =

- . cosXg(x)

g) Denx

(x) =

=

x(3dx E

((2 kx

St3dt c

=

+ = c

+ = + /logxdx /1 (y Xdx xlagx c

lagxdx xlogx x +

=

= -

.

= -

.

t

1 x =

+ =

logxf'(x)

f(x)

dt

dx

A dt =

- = = g(x)

g(x) X

1 =

=

(nen2xdx /sent d /Dentdt =

-Ecost

= c cos

+

= = = e

-(exdx

(xe xe"

* dx xe c

+

t =

=

2x = dt f(x)

2dx 2

f(x) =

= X

=

= f(x) ex

exg(x)

= =

-

(E

1

↓ ( xdx

x xdx

2 = =

+ . 8 /cosx) 2( menx)

(

-menx Xcosx c

benx +

-2/x

/xcosxdx +

x

2

+

penxdx = -

-2 xcosx

x-nenx -

x2 t x

=

1

+ = .

= x2nenx

(xdx dt C

2xcoSX-2Denx +

+

=

= X f(x) 1

f(x) =

=

x 2 f(x)

2 f(x) 2x

= = COSX

g(x)

E'(x) -

=

penx

f(x) =

g(x)

cosX Denx

= =

② PER

SOSTITUZIONE

INTEGRAZIONE PER

DEFINITI

INTEGRAL expenxdx) exmenx-excox

expenx-/excosx

Jex epenx-(excosx / Jexpenxdx c

+

+

dis =

= =

nenx

↓

b ↑

/f(x)dx ) -g'(t)dt

f(y(t)) Ckmenxdx ex(penx-cosx)

= f(x)

f(x) c

+

f(x) f(x) Denx

CosX =

neux -

=

corX

· =

= = -

exg'(x) exg(x) eY

(c)

g g(x) =

ex g(x) =

a =

g(t) g(c) : =

a

=

x = -

b

g(d) (d)

g

=

= o INTEGRAZIONE PER PART

FORMULA

②

-Javangt]c-farctnget)

1 E PERINIEGRAU DEFINITI

+

arange

+ c -

=

( ↓

b

I b (

/ (x)g(x)dx

[f(x)f(x)]a +

f(x)g(x)dx

O = -

t

ex ·

= Q

d

d 2

↑" dx [eg(x)]

= = . "

****

/ [xeg()) [x] (log(2)

20g() 3

lagxdx 2 2

0

= - = -

-

= -

-

-

= .

↑ =

f(x)

f(x) logy

= 1 g(x)

g(x) X

funzione continua

Sia f e = =

una dervabile

funzione

& una continua CM)

derivata , risulta

con (

/ g'(t)dt (

f(y(t)) F(x)

f(x)dx f(x)dx c

+

= - = derivabili

funzioni

fe due

se sono

y

g(t)dt

dx intervallo

g(t) un

F(g(t)) continua ,

deminata in

/

= c Con

+

f(x)dx

x ,

= = (PM)

risulta

allora

g(t) (f(x)g(x)dx

x (f'(x)g(x)dx

= / g(x) +

(f'(x(g(x)dx f(x)

f(x)g(x)

f(x)g'(x)dx - =

= -

F'(g(t)) g(t)

g(t) f(g(t))

F(g(t))

D = -

-

= (f(y(t)) g'(t)dt

(g(t)) c

F + = - 23

/5x /

(3x

( 1 [ + 2

2 +

rx)dx

5x + c

+ = +

=

= +

+

=

=

3x +

+ 6

· T T

/cos(3x)dx (3)

(3x)] -nen(o)

[ben +

Den

=

= pen(p) Enen(3n) + c

c

(3)

(pen

Ement =z

dEdt/ cosid +

· /costdt c =

+

= -

= flog(t)

(Xdx xartngx

z/z c

+

/1 Xarctnyx

Jarctngxdx =

arctngxdx dt

xarfngx -

=

- -

-

=

= =

. f(x) x

xauctngx-Elog(1