Analisi Matematica 1 - Appunti

(1+x₁)(1+x₂) = = 1+x₂+x₁+ x₁x₂ = = 1 + (x₁+ x₂) + x₁ x₂ = 1 + (1+x₁x₂

- c.v.d.

In R non sappiamo calcolare: √-2 o log₂ (-3)

=>Insieme C (numeri complessi)

• Costruiamo l'insieme (R x R)_R² costituito dalle coppie ordinate (a,b) di numeri reali.
• Al suo interno, organizziamo una struttura coi 2 operazioni
  1. (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) ADDIZIONE
  2. (a,b) + (c,d) = (ac - bd; ad + bc) MOLTIPLICAZIONE
• l'add ha come elemento neutro (0,0) che sommato a qualsiasi altra coppia ritorna alla coppia di partenza.

L'insieme C contiene coppie del tipo

(a,b)

(b,a)

(a,0)

In particolare, se:

(a,0) + (b,0) = (a+b,0)

(a,0) · (b,0) = (ab,0)

Legge di comp interne che il trovato i

Supp dei tipo (a,0)

Se a < b :

(a,0) < (b,0)

ma a ditt di C è anche ordinato

I numeri reali sono le coppie del tipo (a,0)

non co relazione d'ordine nel gruppo C! a meno che non siano reali [quindi del tipo (a,0)]

Operazione di divisione

08-10-13

_z1 = a + ib _z2 = c + id

_z = _z1 / _z2 = (a + ib) / (c + id) = = ( (a + ib)(c - id) ) / ( (c + id)(c - id) ) = = ( (ac + bd) + i(bc - ad) ) / ( c² + d² ) = = ( ac + bd ) / ( c² + d² ) + i ( (bc - ad) ) / ( c² + d² )

u = 1 + i v = 4 + 4i

_z = u / v = (1 + i) / (4 - 4i) = ( (1 + i)(4 + 4i) ) / ( (4 - 4i)(4 + 4i) ) = = ( 4 - 4i + i(4 + 4i) ) / 16 - 16i²

= (4 - 4i + i(4 + 4i)) / 32 = i / 4

* esempio 2

|Rez|² + 4(Imz+1)² ≤ 9 Imz + 1

z = x + iy

x² + 4y² + 4y + 1

x² - 4y²= 4y + 1 1 + 1

x² + 2(y - 1/2)² = c

x² + 4(y - 1/2)² ≤ 2

Divido per due

x²/2 + (y - 1/2)²/1/2 ≤ 1

{elisse con centro (0, 1/2)}

{semiassi √2, √2/2}

x²/a² - y²/b² = 1

[x - x₀]²/a² + (y - y₀]²/b=1

* esempio 3

Ω = {z C (Rez)²(Imz)² ≥ 1}

z = x + iy

x² - y² ≥ 1

Per x² - y² parabole

Definiamo la parte di piano accettabile

Moltiplicazione e Divisione in ℂ

09-10-13

Formule di pro

Siano

z₁ = ρ₁(cosθ₁ + i senθ₁) z₂ = ρ₂(cosθ₂ + i senθ₂)

Prodotto in ℂ

z₁z₂ = ρ₁(cosθ₁ + i senθ₁) ρ₂(cosθ₂ + i senθ₂) = = ρ₁ρ₂ (cosθ₁cosθ₂ + i cosθ₁senθ₂ + i senθ₁cosθ₂ + i² senθ₁ senθ₂) = = ρ₁ρ₂ (cosθ₁cosθ₂ - senθ₁ senθ₂ + i (cosθ₁ senθ₂ + senθ₁ cosθ₂)) = = ρ₁ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]

Esempio

z = 2(cos π/4 + i sen π/4) z₂ = 4(cos π/2 + i sen π/2) z₁z₂ = 8(cos 5/4 π + i sen 5/4 π)

z₀ = 2

z₁ = 2 (cos ²⁄₃π + i sen ²⁄₃π)

z₂ = 2 (cos ⁴⁄₃π + i sen ⁴⁄₃π)

Disegno:

E = {²⁄_i cos z ∈ ω}

Equazioni in C

Equazioni algebriche

Equazioni secondo grado in C

a, b, c ∈ C con a ≠ 0

az² + bz + c = 0;

qz² + qz - C;

z² + b/q z -= c / a ;

Equazioni di secondo grado nelle parti b/2

z² + b/q z + b²/4q² = - c / q + bc/b/4q²;

(z + b/2) ² :- c/q + b²/4²;

(z + b/2q) ² = b² - 4ac/4q²

=b²-4ac/4a²

z + b/2a. • b²-4qc/2a

z-b*2a -b-4ac, 2a

=b+-b²-42/2a

=b+-