Analisi Matematica 1 - Appunti

Concetti sui numeri complessi

Espressioni algebriche

(1 + 1x) (1 + 1x) = 1 + 1x + 1x + 1x² = 1 + (1x + 1x) + 1x². È positivo quindi se lo tolgo è di sicuro maggiore della parte rimasta: 1 + (1 + 1x).

Calcoli nei numeri complessi

Non sappiamo calcolare √-2 o log₂ (-3) nell'insieme C (numeri complessi). Costruiamo l'insieme Ơ (numeri complessi), costituito dalle coppie ordinate (a, b) di numeri reali.

Operazioni

All'interno dell'insieme, organizziamo una struttura con due operazioni:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) - Aggiunta tra reali
• (a, b) (c, d) = (ac - bd; ad + bc) - Moltiplicazione tra reali

(0,0) è l'elemento neutro che sommato a qualsiasi altra coppia ritorna alla coppia di partenza.

Proprietà dei numeri complessi

(1 + ix) (1 + ix) = 1 + ix + ix - x² = 1 + (1 + ix) ix - x² = 1 + ix - x² = c.v.d.

In R non sappiamo calcolare: √-2 o log₂ (-3). Nell'insieme C (numeri complessi), costruiamo l’insieme R x R = R² costituito dalle coppie ordinate (a, b) di numeri reali.

Struttura e operazioni

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) - Aggiunta tra reali
• (a, b) (c, d) = (ac - bd; ad + bc) - Moltiplicazione tra reali

(0,0) è l'elemento neutro che sommato a qualsiasi altra coppia ritorna alla coppia di partenza.

L'insieme C contiene coppie del tipo (a,b), (0,b), (a,0). Particolare se c'è un sottocampo di C:

Legge di composizione interna

(a,0) + (b,0) = (a+b,0)

(a,0) · (b,0) = (ab,0)

Legge di composizione interna, ma il tutto è una del tipo (a,0) se a (a,0), ma a dire che C è anche ordinato i numeri reali sono le coppie del tipo (a,0).

Potenze e proprietà

Non c'è relazione d'ordine nel gruppo C, a meno che non siano veri (quindi del tipo (a,0)). Le potenze del nullettore (0,1) hanno una proprietà (0,1) × (0,1) = (0,0 - 1,0 , 0,1 + 1,0) = (-1,0). La metto in posto nuovo, complesso per se stesso da un numero reale negativo. Il quadrato della coppia è negativo!

Unità immaginaria

(1,0) è l’unità reale; (0,1) è l’unità immaginaria; si indica con “i” con i² = -1.

Allora (a,b) = (a,0) + (0,1)(b,0). Ovvero se:

1. (a,0) → a
2. (b,0) → b
3. (0,1) → i

(a,b) ⇨ a + ib forma algebrica nel numero complesso

Esempi di operazioni

Esempio 1: Aggiunta

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d)

Esempio 2: Prodotto

(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)

Numero complesso

Il numero complesso z = (a) + i(b)

z = Re(z) + i Im(z)

Re(z), Im(z) ∈ ℝ

Piano complesso

z = (4) + (2)i (4, -2)

Piano complesso o piano di Gauss

• Asse x -> asse reale (solo numeri reali)
• Asse y -> asse immaginario (solo numeri immaginari puri)

Esempio nel piano di Gauss

E ≡ { z ∈ C : _Re(z) _Im(z) } > 1 z = x + iy

_Re(z) = x

_Im(z) = y

→ ^x/_y > 1

(x, y) | ^x/_y > 1

x, y > 0       ->   x > y

x, y < 0       ->   x < y

Operazione di divisione

Operazione di divisione tra numeri complessi:

z₁ = a + ib

z₂ = c + id

z =     z₁     =      a + ib      ·      c - id     =        z₂              c + id