Analisi matematica 1

Stime asintotiche e limiti notevoli

R Rn → +∞ n → +∞• ±∞ ⇔ ±∞lim a = lim b =n n → +∞ n → +∞• ⇔lim a = lim b =@ @n n → +∞ n → +∞∼ ∼ ∼ ∼Osservazione: Se a b ... c allora a cn n n n n3.3. STIME ASINTOTICHE E LIMITI NOTEVOLI 51Proposizione (Principio di sostituzione): In prodotti e rapporti possiamosotituire ad una successione una ad essa asintotica:0 0a b a bn n n n∼ 0c cn ncon:• 0∼a an n• 0∼b bn n• 0∼c cn nProposizione: L’asintoticità è una relazione d’equivalenza, cioè soddisfa le pro-prietà:• ∼riflessiva: a an n• ∼ ⇒ ∼simmetrica: a b b an n n n• ∼ ∼ ⇒ ∼transitiva: a b , b c a cn n n n n nESEMPIO: 3 −1 cos nlim 3 sinn→+∞ 2n3• lim =0nn→+∞ 3• lim =02nn→+∞Quindi: 23 31 9−1 cos 2n n2 2n∼ =3 33 sin 2 22 n nn 9 322nlim =3 2n→+∞ 2n⇒

∼Osservazione: lim a = lim b a bn n n nn→+∞ n→+∞ a n⇒ ⇒ ∼lim a = l limOsservazione: = 1 a ln nln→+∞ n→+∞Si ha cheOsservazione:    1 1∼ →log per n +∞ (3.23)1 + n n52 CAPITOLO 3. SUCCESSIONIProposizione: Abbiamo che1  →−lim n = 1 per n +∞ (3.24)e 1nn→+∞Da cui abbiamo che: 11 →− ∼ per n +∞ (3.25)e 1n nDimostrazione: n n+1   1 1 ∀n ≥<e< 11+ 1+n n 1  1 1 1 n1 ∀n ≥1 + < e < 11+ 1+nn n n1 11  ∀n ≥− < 1 + + 11 < n 1e n 2n nTutti e tre i membri di questa disequazione tendono ad 1.Proposizione (Formula di Stirling): Un risultato molto utile nel calcolo deilimiti è il seguente: √−nn∼n! n e 2πn (3.26)Teorema (Gerarchia degli infiniti):log n• a ∀α ∀a=0 > 0, > 1lim αnn→+∞ αn• lim =0nqn→+∞ αn• lim =0nqn→+∞

nq• = 0

lim n!n→+∞ n!• lim = 0nnn→+∞3.3. STIME ASINTOTICHE E LIMITI NOTEVOLI 53

Quindi: α n nlog n < n < q < n! < na

ESEMPIO: nαn n α n1 1lim = lim1 + 1+αn αn→+∞ n→+∞ n

Se: • α < 1 : diverge a +∞

• α = 1 : converge a e

• α > 1 : converge a 1

Proposizione: Si ha che: 2 p−1 p p∼a = α + α n + α n + ... + α n + α n α n (3.27)n 0 1 2 n n n

ESEMPIO: 32n + 4n + 1lim 35(n + 1)n→+∞

Utilizziamo l’asintoticità dei polinomi al loro termine di grado massimo:33 2n2n + 4n + 1 ∼3 35(n + 1) 5n32n 2lim =35n 5n→+∞

Proposizione (Altri limiti notevoli): Vediamo ora altri esempi di limiti no-tevoli: 11 + alim = e per lim a = 0 (3.28)ann nn→+∞ n→+∞log (1 + a ) 1nalim = per lim a = 0 (3.29)na logn→+∞ n→+∞n a54 CAPITOLO 3. SUCCESSIONIa − 1a n = log a

per lim a = 0 (3.30)lim na n→+∞n→+∞ n x −(1 + a ) 1nlim = x per lim a = 0 (3.31)nan→+∞ n→+∞nsin a nlim =1 per lim a = 0 (3.32)nan→+∞ n→+∞n−1 cos a 1n per lim a = 0 (3.33)lim = n2a 2 n→+∞n→+∞ ntan a n =1 per lim a = 0 (3.34)lim na n→+∞n→+∞ narcsin a nlim =1 per lim a = 0 (3.35)nan→+∞ n→+∞narctan a nlim =1 per lim a = 0 (3.36)nan→+∞ n→+∞nsinh a nlim =1 per lim a = 0 (3.37)nan→+∞ n→+∞ntanh a nlim =1 per lim a = 0 (3.38)nan→+∞ n→+∞n −cosh a 1 1nlim = per lim a = 0 (3.39)n2a 2n→+∞ n→+∞n3.3. STIME ASINTOTICHE E LIMITI NOTEVOLI 55x| |a ||lim a log = 0 per lim a = 0 (3.40)n n nn→+∞ n→+∞√nlim n =1 (3.41)n→+∞x an x1+lim = e per lim a = +∞ (3.42)nan→+∞ n→+∞nx(a )n =0 per lim a = +∞

(3.43)lim naa n n→+∞n→+∞ x(log a )n per lim a = +∞ (3.44)lim na n→+∞n→+∞ n {a } ∃, ∀n ∈Teorema (Criterio del rapporto): Sia con a > 0, se Nn na n+1 = llim an→+∞ ncon:• l < 1: allora lim a = 0nn→+∞• l > 1: allora lim a = +∞nn→+∞• l = 1: allora non posso concludere nulla sul limiteESEMPIO:Sia b > 0: nblim n!n→+∞Dal criterio del rapporto abbiamo che:n ·b b n! b·lim = =0n(n + 1)n! b n +1n→+∞Quindi essendo il limite < 1 si ha che: nblim =0n!n→+∞56 CAPITOLO 3. SUCCESSIONIESEMPIO: log nlim nn→+∞Usiamo il criterio del rapporto: nlog(n + 1) ·lim log n n +1n→+∞Sappiamo che: n =1lim n + 1n→+∞E dal Teorema dei Carabinieri si ha che: log(n + 1) log 2 + log n⇒ ⇒n < n+1 < 2n log n < log(n+1) < log 2+log n 1 < <log n log nDa cui: log 2 + log n =1lim log

nn→+∞Quindi: log(n + 1)lim =1log nn→+∞Dal criterio del rapporto non possiamo determinare nulla quindi utilizziamo lagerarchia degli infiniti: log n =0lim nn→+∞ESEMPIO: n!lim nnn→+∞Utilizzando il criterio del rapporto si ha che:n n n n(n + 1)n! n n 11 ·lim = lim = lim = lim = < 1n1n + 1 n n(n + 1) (n + 1) n! (n + 1) e1 +n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ nDa cui: n!lim =0nnn→+∞Osservazione: Nel caso di forme indeterminate del tipo:∞h i• , si raccoglie il termine dominante a numeratore e denominatore, cioè∞ ∞quel termine che tende a più velocemente. 0• ∞, si raccoglie il termine a numeratore e denominatore che tende a più0lentamente.3.3. STIME ASINTOTICHE E LIMITI NOTEVOLI 57ESEMPIO: n n−2 4lim n −3 n!n→+∞ ∞ ihQuesta è una forma indeterminata del tipo ∞ 1n4 − 1n2lim n3n→+∞ n! − 1n!Da cui:

1. • lim =0n2n→+∞ n3• =0lim n!n→+∞
2. Quindi: n4 =0lim n!n→+∞
3. ESEMPIO: n6− −n 1−n e +7 2lim 2n3 1n→+∞ + 44 n 0
4. Questa è una forma indeterminata del tipo :0 6n6− −n 1 1− e +n 77 2 n∼2n 43 1 1+ 44 n n61 7nlim = +∞41n→+∞ n
5. ESEMPIO: n2 + n 1lim =n+12 2n→+∞
6. ESEMPIO:Trovare una successione a tale che:n( ∼a bn n →per n +∞a be en n
7. Quindi: aa e nn −ba6= 1 = lim = lim elim n nbb e nn→+∞ n→+∞
8. n→+∞ n58 CAPITOLO 3. SUCCESSIONI(a = n + 1n −ba⇒ lim e = en nb = n n→+∞
9. n3.4 Successioni di complessiDefinizione (Successioni di numeri complessi): Le successioni di numeri com-{z }plessi sono successioni del tipo:n z = x + iy (3.45)n n n{x }, {y } ∈Con: Rn n {z } ∈
10. Definizione (Convergenza di successioni complesse): Una successione n∃λ ∈ ∀è convergente se tale che > 0 vale

definitivamente che:C C |z - λ| < (3.46)n{z } ∈ {x }, {y } ∈In generale è convergente se sono convergentiOsservazione Cn n ne vale che:R lim ylim z = lim x + i (3.47)nn n n→+∞n→+∞ n→+∞3.5 Sottosuccessioni {a }Sia una successione, da questa selezio-Definzione (Sottosuccessione): nniamo i termini che vogliamo mantenere, essi corrispondono agli indici n < n <1 2... < n < n < ....k k+1Definiamo la successione di questi termini scelti come sottosuccessioneb = ak nk≥Con k 1.ESEMPIO: a = 4, 7, 9, 11, 27, 32nb = 4, 7, 9, 11, 27, 32n Teorema: Ogni limite di una sottosuccessione converge allo stesso limite dellasuccessione (se essa ammette limite): ∈lim a = lim a = l (3.48)Rn nk n→+∞k→+∞ESEMPIO: nLa successione (−1) è composta da due sottosuccessioni, una con tutti i +1−1e una con tutti i che convergono a limiti diversi, quindi la successione dipartenza non converge.3.6.