Analisi matematica 1

Indice

1 Introduzione 5

1.1 Teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Estremo superiore, inferiore, massimo e minimo . . . . . . . . . . . 13

1.5 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Teoria della cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Radicali, potenze e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1 Radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.3 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Numeri complessi 23

2.1 Campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Esponenziale e logaritmo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Successioni 39

3.1 Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Teoremi per il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Stime asintotiche e limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Successioni di complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Serie 61

4.1 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Serie di numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4 Serie a segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5 Complementi sulle serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1

2 INDICE

5 Funzioni 83

5.1 Funzioni reali di variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1 Funzioni potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.2 Funzioni polinomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.4 Funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.5 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.6 Funzioni parte intera e mantissa . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.7 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Operazioni sui grafici di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4 Funzione composta e funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5 Funzioni elementari inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5.1 Funzioni radici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5.2 Funzioni logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.5.3 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.4 Funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.6 Limiti di funzioni e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Intervalli e intorni in 125

R

7 Calcolo differenziale 131

7.1 Derivata prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2 Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale . . . . . . . . . . 135

7.3 Altre proprietà delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.4 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.5 Derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.6 Studio del grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.7 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8 Calcolo integrale 179

8.1 Gli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.2 Altre applicazioni degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.3 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.4 Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.5 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.6 Integrale di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.6.1 m < n, n = 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.6.2 m < n, n = 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.6.3 m < n, n > 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

≥

8.6.4 m n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.7 Integrale di funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.8 Integrale di funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

n /m n /m

8.9 Integrale di una funzione razionale di x, x , x ,... . . . . . . 209

1 1 2 2

8.10 Complementi sugli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

INDICE 3

8.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9 Equazioni differenziali 215

9.1 Modelli differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.2 Equazioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

◦

9.2.1 E.D.O. a variabili separabili del 1 ordine . . . . . . . . . . . 217

◦

9.2.2 E.D.O. lineari del 1 ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.2.3 Teoremi di esistenza ed unicità . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.2.4 Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . 231

9.3 Equazioni del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

◦

9.3.1 E.D.O. lineari del 2 ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.4 Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti . . . . . . . . . . 246

9.5 Cenni ad altri metodi risolutivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

9.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10 Funzioni reali di più variabili reali 253

10.1 Funzioni di più variabili reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.2 Limiti e continuità per funzioni di più variabili . . . . . . . . . . . . 255

n

10.3 Proprietà topologiche di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

R

10.4 Calcolo differenziale in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

10.5 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

10.6 Derivate di ordine superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10.7 Approssimazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.8 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

10.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11 Funzioni di più variabili a valori vettoriali 295

11.1 Funzioni di più variabili a valori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . 295

11.2 Limiti, continuità e differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

11.3 Superfici regolari in forma parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . 297

11.4 Trasformazioni di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

11.5 Trasformazioni di coordinate e invertibilità . . . . . . . . . . . . . . 299

12 Calcolo Integrale per funzioni di più variabili 303

12.1 Integrali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

12.2 Integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

12.3 Integrali n-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

4 INDICE

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Teoria degli insiemi

Definizione (Insieme): Un insieme è una collezione di oggetti (detti elementi

dell’insieme) che sono distinguibili tra loro.

Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto (A, B, C, ...),

mentre i loro elementi vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto (a, b,

c, ...). Gli insiemi possono essere definiti per:

Proposizione:

• elencazione: vengono elencati gli elementi che compongono l’insieme

• diagramma di Eulero Venn

• proprietà caratteristica: si indica una proprietà che vale per tutti gli

elementi appartenenti all’insieme

ESEMPIO:

• elencazione: {1,

A = 2, 3, 4}

• proprietà caratteristica: {t ≤ ≤

A = : 1 t 4}

• diagramma di Eulero Venn: 5

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Simbologia degli insiemi:

• ∀ : per ogni

• ∃ : esiste

• : non esiste

@

• ∃! : esiste ed è unico

• ∈ : appartiene

• ∈

/ : non appartiene

• := : definizione

• ⇒, ⇐ : implica

• ⇔ : se e solo se

• : contraddizione

• ∅ : insieme vuoto

• ⊂ : sottoinsieme

• ⊆ : sottoinsieme o uguale all’insieme stesso

• : sottoinsieme strettamente diverso dall’insieme stesso

(

• : : tale che

• : come volevasi dimostrare

Definizione (Cardinalità): Si definisce cardinalità di un insieme il numero di

elementi dell’insieme stesso e si indica con:

• #A

• |A| |∅| = 0

Osservazione: P(A)

Definzione (Insieme delle parti): Sia un insieme A, si definisce come

l’insieme delle parti di A, che corrisponde all’insieme che contiene tutti i sot-

toinsiemi di A come elementi.

ESEMPIO: {1,

A = 2, 3}

P(A) {∅, {1}, {2}, {3}, {1, {1, {2, {1,

= 2}, 3}, 3}, 2, 3}}

1.1. TEORIA DEGLI INSIEMI 7

⊂

Osservazione: Se A B:

• P(A) ⊂ P(B)

• |A| ≤ |B|

• |P(A)| ≤ |P(B)|

Definizione (Insiemi numerici):

• : insieme dei numeri naturali

N {1, 2, 3, 4, 5, ...}

• : insieme dei numeri naturali con lo 0

N

0 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

• : insieme dei numeri interi

Z ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,

0, ...

• : insieme dei numeri razionali

Q n o

n ∈ 6

: n, m m = 0

Z,

m

• : insieme dei numeri reali

R {x, ∈ ∈ {0,

a a a ... : x a ..., 9}∀i}

Z,

0 1 2 i

• : insieme dei numeri complessi

C {z ∈

= a + ib : a, b R}

Proposizione: N ( Z ( Q ( R ( C

Operazioni tra insiemi:

• ∪ {x ∈ ∈

unione : A B := : x A o x B}

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

è l’insieme di elementi che appartengono al primo o al secondo insieme o ad

entrambi.

• ∩ {x ∈ ∈

intersezione : A B := : x A e x B}

è l’insieme di elementi che appartengono sia al primo che al secondo insieme.

• {x ∈ ∈

differenza : A\B := : x A e x / B}

è l’insieme degli elementi che appartengono al primo ma non al secondo

insieme.

• c

C {x ∈ ∈ ⊆

complementare : (A) (o A ) := : x X e x / A} per A X

X

è l’insieme di elementi che non appartengono all’insieme stesso.

• × {(x, ∈ ∈

prodotto cartesiano : A B := y) : x A e y B}

1.1. TEORIA DEGLI INSIEMI 9

è l’insieme delle coppie ordinate (x, y) in cui x appartiene al primo insieme e

y al secondo insieme.

ESEMPIO:

{1, × {3, {(1,

2, 3} 4} = 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

|A × |A| · |B|

Osservazione: B| = ⊂

Dati A, B X:

Proprietà delle operazioni tra insiemi:

• ∪∅

A = A

• ∪

A A = A

• ∪ ∪

A B = B A

• ∪ ∪ ∪ ∪

A (B C) = (A B) C

• ∩∅ ∅

A =

• ∩

A A = A

• ∩ ∩

A B = B A

• ∩ ∩ ∩ ∩

A (B C) = (A B) C

• ∩ ∪ ∩ ∪ ∩

A (B C) = (A B) (A C)

• ∪ ∩ ∪ ∩ ∪

A (B C) = (A B) (A C)

• c

∅ = X

• c ∅

X =

• c c c

∪ ∩

(A B) = A B

• c c c

∩ ∪

(A B) = A B

• c c

(A ) = A

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

• ∩

A X = A

• ∪

A X = X

• 6

A\B = B\A

• × 6 ×

A B = B A

• n

× × × ×

A A A ... A = A

1.2 Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali

Definizione (Sommatoria): Siano a , a , ..., a numeri reali, la loro somma si

1 2 n

può indicare in forma compatta con il simbolo di sommatoria:

n

X

a + ... + a := a (1.1)

1 n i

i=1

che si legge: ”sommatoria da i ad n di a ”.

i

ESEMPIO: n

X 2

i = 1 + 4 + 9 + ...

i=1 m

n

n 2

2

2 P

P

P 6 i

j =

i =

Osservazione: i=1

i=1

i=1

Proprietà delle sommatorie:

• n

n P

P · · a

(c a ) = c

k k

k=1 k=1

• n

P ·

c = n c

k=1

• n n

n P P

P (a + b )

b =

a +

k k k k

k=1 k=1

k=1

• n n+m

n+m

P P P

a = a + a

k k k

k=1 k=1 k=n+1

• n n+m

P P

a = a

k k−m

k=1 k=1+m

• n n n−1

P P P

a = a = a

k n−k+1 n−k

k=1 k=1 k=0

Definizione (Progressione geometrica):

n+1

−

 1 q

n 6

se q = 1



X k −

q = (1.2)

1 q

n + 1 se q = 1



k=0

1.2. SOMMATORIE, FATTORIALI, COEFFICIENTI BINOMIALI 11

∈

Definizione (Fattoriale): Il fattoriale di n indica il numero di possibili

N

ordinamenti di n oggetti dati ed il suo valore è pari a:

· · · · − ·

n! = 1 2 3 ... (n 1) n (1.3)

Proprietà del fattoriale:

• − − −

n! = n(n 1)! = n(n 1)(n 2)! = ...

• 0! = 1

• 1! = 1

n!

• − − ≤ ≤

= n(n 1)...(n k + 1) per 0 k n

−

(n k)! ∈

Definizione (Coefficiente binomiale): Il coefficiente binomiale di n N

∈

su k rappresenta il numero di sottoinsiemi di k oggetti degli n oggetti dati ed

N

il suo valore è pari a:

n n! ≤ ≤

, per 0 k n (1.4)

= −

k!(n k)!

k

Proprietà del coefficiente binomiale:

n n

• = −

k n k

n n 0

• = = =1

0 n 0

− −

n n 1 n 1

• = +

−

k k 1 k

Teorema (Formula di Newton): n

n

X

n k n−k

a b (1.5)

(a + b) = k

k=0

Definizione (Triangolo di Tartaglia): Attraverso il triangolo di Tartaglia pos-

n

siamo calcolare gli della formula di Newton:

k

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

...

12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

ESEMPIO: 3

(a + b)

Risolviamo mediante Triangolo di Tartaglia:

n

Prendiamo la riga in cui al postoi di n in compare 3.

k

3 3 3 3

3 0 3 1 2 2 1 3 0

(a + b) = a b + a b + a b + a b

0 1 2 3

1.3 Campi ordinati

Proprietà degli insiemi numerici: Sia k insieme numerico (pari a o

R C):

• ∃+ × →

: k k k tale che:

∀a, ∈

1) b k a + b = b + a proprietà commutativa

∀a, ∈

2) b, c k (a + b) + c = a + (b + c) proprietà associativa

∃0 ∈ ∀a ∈

3) k, k a +0= a =0+ a esistenza elemento neutro

∃(−a) ∈ ∀a ∈

4) k, k a + (−a) = 0 esistenza elemento opposto

• ∃· × →

: k k k tale che:

∀a, ∈ · ·

1) b k a b = b a proprietà commutativa

∀a, ∈ · · · ·

2) b, c k (a b) c = a (b c) proprietà associativa

∃1 ∈ ∀a ∈ · ·

3) k, k a 1= a =1 a esistenza elemento neutro

−1 −1

∃(a ∈ ∀a ∈ 6 ·

4) ) k, k, a = 0 a (a ) = 1 esistenza elemento inverso

∀a, ∈ · · ·

5) b, c k (a + b) c = (a c) + (b c) proprietà distributiva

−1

0, (−a), 1, (a ) sono univocamente detrminati

Osservazione: ·

Definzione (Campo): Un insieme k dotato di due operazioni + e che soddi-

sfano le precedenti 4 proprietà per ciascuna operazione, viene detto campo.

Osservazione:

• ·)

(R, +, è un campo

• ·)

(Q, +, è un campo

• −1

·) ·

(Z, +, non è un campo poichè non esiste l’elemento inverso di (z )

≤) ≤

Definizione (Insieme ordinato): (X, è un insieme ordinato se è una

relazione d’ordine, cioè soddisfa:

∀a ∈ ≤

1) X a a proprietà riflessiva

∀a, ∈ ≤ ≤ ⇒

2) b X a b, b a a = b proprietà antisimmetrica

∀a, ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤

3) b, c X a b, b c a c proprietà transitiva

≤)

Osservazione: (R, è un insieme ordinato.

1.4. ESTREMO SUPERIORE, INFERIORE, MASSIMO E MINIMO 13

Definizione (Insieme totalmente ordinato): Un insieme X si dice totalmen-

∀a, ∈

te ordinato se vale almeno una delle seguenti relazioni b X

• ≤

a b

• ≤

b a ·, ≤)

(k, +, è un campo ordinato se:

Definizione (Campo ordinato):

·)

1. (k, +, camp