Analisi matematica 1, 5-6 Calcolo integrale (definito e indefinito)

DEFINIZIONE INTEGRALI DEFINITI

Trapezoide di f. Data f: [a,b] → R, f limitata, f(x) ≥ 0

∀ᴇx [a,b] chiamiamo trapezoide di f: T={(x,y)∈R²: a≤x≤b, 0≤y≤f(x)} ⊂ R²

Integrale definito per qualunque segno di f (non solo f(x) ≥ 0)

INTEGRALE DEFINITO (DI RIEMANN)

Data f: [a,b] → R f limitata, consideriamo:

1. ∀n ∈ N, n ≥ 1 la suddivisione di [a,b] in parti ugualix₀=a, x₁=a+h, x₂=a+2h, x₃=a+3h, ..., xₙ₋₁=a+(n-1)h, xₙ=a+nh=b= ^b-a/_n
2. Prendo un valore c interno ad ogni intervallo (xᵢ₋₁, xᵢ) casualee considero il rettangolo che ha come base l'intervallo e comealtezza f(c).

+ aumenta e + più l'area sarà precisa

SOMMA DI CAUCHY

somma delle aree di n rettangoli

sₙ = Σ ⁿ_i=1 f(i) (xᵢ₋₁ - xᵢ) = Σ ⁿ_i=1 f(i) b-a/n

Tutte le somme di Cauchy devono avere limite finito e ugualef è integrabile in [a,b] (secondo Riemann) in [a,b] e chiamiamointegrale di f:∫_a^bf(x) dx = lim_n→∞ sₙ

OSS 1 per definizione il significato generico di ∫_a^bf(x) dxè l'area del trapezio

Area (T) = ∫_a^bf(x) dx con f(x) ≥ 0 ≈ Area (T) = -∫_a^bf(x) dx con f(x) ≤ 0

IN GENERALE

∫_a^bf(x) dx = Area (T₁) - Area (T₂)f(x)>0, f(x)