Appunti di Analisi Matematica 1

Definiamo la derivata prima di f nel punto x₀, il seguente limite:

f'(x₀) = lim_{h -> 0} (f(x₀ + h) - f(x₀))/h

Ossere: f'(x₀) è il coeff di di della retta tangente a f nel punto (x₀, f(x₀))

y: mx + q

↕ retta tang

y = f'(x₀) + f'(x₀)(x-x)

Derivata di funz. elementari

e^x, log_x, sinx, tgx, cosx, x^x

↔ casa

1) e^x

↕ sempre con

lim_{h -> 0} e^{x₀ + h} - e^x₀

f(x) = x^x, x ∈ ℝ

= lim_{h -> 0} e^{x₀ + h} - e^x₀

↕ ↕ lim a

lim_{h -> 0} e^{x₀ + h} - e^x₀

=

lim_{h -> 0} =

1 (lim

↕)

= 1

2) f(1) = log x

D₁ = ] 0 + ♮ [

x ∈ D₀

f'(x₀) = lim_{h -> 0} log(x + h) - log(x₀ / h = lim_{h -> 0} cos(1 + h/x)

= lim_{h -> 0} log((1 + h/x)

=

↕ 1/x

-> derivata di log_x ↔ 1/x

Definiamo la derivata prima di f nel punto x₀, il seguente limite:

f'(x₀) = lim [f(x₀+h)-f(x₀)] / h

h→0

LA DEF. VALE SE IL LIMITE ESISTE ED È FINITO.

OSSERV.: f'(x₀) è il coeff. ang. della retta tangente a f nel punto (x₀,f(x₀)).

y: _c x + q

y: _{retta tang}

y: f'(x₀) + f'(x₀) (x-x₀)

DERIVATE DI FUNZ. ELEMENTARI

eˣ, log_x x, sin x, tg x, cos x, x^x

x _CASA

eˣ

SEMPRE CON

lim [eˣ⁺ʰ-h] / h = lim [e-x-h-sub] = lim [e-x+1] =

h→0 h→0 h→0

f(x) = x^y, x ∈ R

= lim [eˣ-h] / h =

h→0

-x/x

= x

= -x Lim [1/x]

= log (1/x) = Lim log (x/K)

= x log x = lim log (x/K)

lim [log (x+h) - log (h)] [log (1/x)+1] = lim (h/x) = log (log 1/x)

[K/K + 1] = [1/log] = lim [log (x/K)]

= ^a

The limit

f'(x₀) = lim log(x+1)

h→0

- log(1+k)

Teorema Di Weierstrass

Sia f: [a, b] → R continua in [a, b]

Allora ∃ x_m, X_M | x_m ≤ f(x) ≤ X_M ∀x∈[a, b] ed ∃x_m, x_M ∈ (a, b) | f(x_m) = x_m e f(x_M) = X_M

Esempio 1: f(x) = e^x

cont [a, b] = [0, 1]

Osservazione: sup e^x = +∞ inf e^x = 0

Esempio 2: f(x) = 2 sin x

Esempio 3: f(x) = 1/x

In 0 punto di disc. di 1 specie

[0.5] ∈ [5, 6]

5)

\( f(x) = \frac{x}{x-2} \) D: \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \)

Per \( x \to 2^- \), \( f(x) \to -\infty \)

Per \( x \to 2^+ \), \( f(x) \to +\infty \)

Asse y: asintoto vertical

Per \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 1 \)

Asse y = 1

6)

\( f(x) = \frac{1}{x} \)

D: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)

Per \( x \to 0^- \), \( f(x) \to -\infty \)

Per \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to +\infty \)

Asse y: asintoto oriz.

Per x → ±∞, f(x) → 0.

Asse y: asintoto oriz.

8)

\( f(x) = \pm 1; D = \mathbb{R}\)

Si considera il limite di \( f \):

Per \( x \to 0^- \), \( f(x) \to 1 \)

Per \( x \to 0^+ \), \( f(x) \to -1 \)

Discontinuità di salto

lim tⁿ = 0

t_x>∞ e^t

dimostrare che lim _x>0 log x = 0

ESERCIZI:

1) lim _x>0 xⁿ = 0

x = 1/t -> lim _t>∞ (1/t)ⁿ = 1/tⁿ -> x = ln(1+t)

t -> 0

lim _t>0 ln(1+t) =

t (limite notevole fondamentale)

ESERCIZI: CALCOLARE I SEGUENTI LIMITI (E DISTONI)

1. lim _x>0 sen x / x
2. lim _x>0 cos(x)
3. lim _x>0 (1 + sen x)^1/x
4. lim _x>0 (x² / sen²x)
5. lim _x>π/2 √(1 + sen x) / sen x √(1-sen x)

Sol: 0 = sen x / x -> TEOREMA DEL CONFRONTO -> :

-> 0 -> 1/x

lim _t>0 cos(t) = 1/x²

lim _t>0 + cos x / x₂

lim _t>0 cos(x)

0

GEARCHIA INFINITI

1. _{x->+ ∞} log x = ∞   ∀ x > 0

2. _{x->+ ∞} x^α = 0   ∀ α > 0

Sia m ∈ ℕ   m^-1