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Definiamo la derivata prima di f nel punto x0 il seguente limite:
f'(x0) = limh → 0 f(x0 + h) - f(x0) / h
Osserv.
f'(x0) è il coeff ang delle rette tangenti a f nel punto (x0, f(x0))
g: retta tang.
y = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)
Derivata di funz. elementari
- xr, log x, sen x, tg x, cos x, xa
x ∈ O A C S A
1) ex
esemp. con
f(x) = xr, x ∈ ℝ
limh → 0 ex0+h - ex0 / h =
limh → 0 ex0 * (eh - 1) / h =
limh → 0 ex0*h * limh → 0 eh - 1 / h = ex0
→ (ex)' = ex
La derivata di ex è ex stesso
2) f(x) = log x
Df = ]0, +∞[
x0 ∈ Df
f'(x0) = limh → 0 log (x0 + h) - log (x0) / h =
limh → 0 log (1 + h/x0) / h =
limh → 0 log (1 + h/x) / (h/x) =
→ 1/x → derivata di log x è 1/x
Definito su un dominio
f: D -> R
f: [0,1) -> R
ossia
x ∈ [0,1)
f(x) = 1x = 0
c - x3 + |x - 1|x ≠ 0
Esercizio 4 pg 56
f: [0,1) -> R
ossia
f(x) = 1x = 0
(x3 - 2x + 1)x ≠ 0
Trovare il dominio, l'insieme ecc.
Dominio: D = [0, 1) ∪ (1, +∞)
Codominio:
Si rappresenta graf:
xt = et ln x
t = 0
ln(1 + t)
lim xx = 0
x⟶0
ez
CASA
ESERCIZI:
- lim (sen x) / x
- lim [cos(4x)] / x2
- lim (1 + [sen x])1/x
- lim (x2)
- lim √(1 + sen x) / sen 3x
(limite notevole fondamentale)
-> TEOREMA DEL CONFRONTO ->
x⟶0
0 ≤ |sen x| / x ≤ 1
x –> (1/t) cos x = 1
-> CURVE | SOTT.TOP
(alcuni ed altre)
t = cos x – 1
f(x) = 1/x
D = R - {0}
x = 0 ASSENTE
f(x) - f(c) = -
Distanza Diversazione punto comunicazione
Non crescente
f(x) = 1/cos x
D = R - {
cos x - 1/2
g(x) = ch x - 1/2
Esercizio:
- PASSO 1:
- PASSO 2:
- Funzioni tra due insiemi
- f: A ─> B (con vett. )
Def: Una relazione che associa a ogni x ∈ A al massimo un (e uno solo) valore y in B.
Funzioni —> DIAGRAMMA
2logε + 2ln
logε
ε2logε + 2εln
logε
ε2logε + 2εln
logε
5) APPLICA
DE L'HOPITAL:
x→0⁺
ε
u→2
1
→
∫10
α ≤ 0
→1xα
ε→0⁺
10
INTEGRALI IMPROPRI: GENERALITÀ
- b ∫a f(x)dx → se f è continua in [a,b)
Esercizio 3 pag 89
- ∫ x^2 dx con f(x) = x^2 a = 0 b = 1
Definizione 5: Sia f(x) continue in (a,b) fn → ∫|f(x)| dx Diverge: S diverge Converge: S converge
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