Analisi matematica 1

DIN.

1) Siano x, y ∈ (a, b)

Risulta

 f(y) - f(x)  ___________   y - x

   β-CRESCENTE          f(x) ≤ f(y)  x < y {  (y - x) > 0 { f(y) - f(x) ≥ 0 }  β-DECRESCENTE  y < x            f(y) ≤ f(x)  (y - x) < 0 { f(y) - f(x) ≤ 0 } } y → x

Passando al limite per y → x:

  l.i.m f(y) - f(x)_T.F.S.    ____________{y > 0y > 0}      y - x_{y → x}

→ Siano x₁, x₂ ∈ (a, b)con x₁ < x₂. Dal teorema di Lagrangesi ha che ∃ c ∈ (x₁, x₂): f(x₂) - f(x₁) = f'(c) (x₂ - x₁)         ^{> 0     > 0}= → f(x₂) - f(x₁) > 0 → f(x₁) ≤ f(x₂)cioè f è c.crescente in (a, b)

(cfr. Le altre tre dimostrazioni siano analoghe)

TEOREMA (caratteristiche delle funzioni costanti)

Sia f: (a, b) → ℝ

Allora:

 (f costante) ↔ (f'′è 0)

DIN. → ovvio

 Lo sappiamo già.

← Siano x₁, x₂ ∈ (a, b) con x₁ < x₂Dal teorema di Lagrange si ha che:∃ c ∈ (x₁, x₂):f(x₂) - f(x₁) = f'(c) (x₂ - x₁)

DIN.

1. Siano \(x, y \in (a, b)\)

   Risulta

   • \(x < y \implies f(x) < f(y)\)
   • \(y - x > 0 \implies (f(y) - f(x) > 0)\)
   • \(y < x \implies f(y) < f(x)\)
   • \(y - x < 0 \implies (f(y) - f(x) \leq 0)\)

   \(\frac{f(y) - f(x)}{y - x}\)

   Passando al limite per \(y \to x\)

   \(\lim_{y \to x}\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(x) \, \forall x \in (a, b)\)

2. Siano \(x_1, x_2 \in (a, b)\) con \(x_1 < x_2\).

   Dal teorema di Lagrange si ha che:

   • \(\exists c \in (x_1, x_2) : f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)\)
   • \(\implies f(x_2) - f(x_1) \geq 0\)

Le altre tre dimostrazioni siano analoghe

Teorema (caratteristiche delle funzioni costanti)

Sia \(f : (a, b) \to \mathbb{R}\). Allora:

• \(f\) derivabile
• \((f \text{ costante}) \iff (f' \equiv 0)\)

DIN.

Ovvio.

1. Siano \(x_1, x_2 \in (a, b)\) con \(x_1 < x_2\).

   Dal teorema di Lagrange si ha che:

   • \(\exists c \in (x_1, x_2) : f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) = 0\)

=> β(x₁) = β(x₂) cioè β' è costante in (a,b)

Ricerca dei punti di max/min

(Classificazione dei punti stazionari)

Sia f: (a,b) ⇒ R derivabile

Sia x₀ un punto stazionario di f cioè f' (x₀) = 0

Risolvendo la disequazione f'(x) > 0 si ha:

pt di min

pt di max

pt di flesso

Esempio

f(x) = x e^{- x2}

lim x e^{- x2}

x > ∞

lim x → ∞ x e^{- x2} = ...

lim x → ∞ x e^{- x2} = ...

D = (-∞ / +∞)

f(x) = x e^{- x2}

_{per x > 0}

f' (x) = e... x e <...>

(1 - x²) x e^{- x2} > 0

1 - x² > 0

x = ±1 R

punti stazionari (zeri della derivata prima)

Teorema di de l'Hôpital

Teorema. Siano f, g : ℝ → ℝ derivabili, tale che1) lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0