Analisi matematica 1

DIM.

1. Siano x, y ∈ (a,b)

Risulta

f(y) - f(x)

y - x

      f Crescente

• x < y → f(x) ≤ f(y)
• y - x > 0 → f(y) - f(x) ≥ 0
• x > y → f(y) < f(x)
• y - x < 0 → f(y) - f(x) ≤ 0

                      f Decrescente

⇒ 0

Passando al limite per y → x

f(x) = lim f(y), f(x)

                      T.F.B. y → x

y - x

                                ⇒ 0 > 0

2. Siano x₁, x₂ ∈ (a,b)

con x₁ < x₂. Dal teorema di Lagrange

si ha che ∃ c ∈ (x₁, x₂) :

f(x₂) - f(x₁) = f'(c) (x₂ - x₁)

⇒ 0 > 0

f(x₂) - f(x₁) > 0 ⇒ f(x₁) < f(x₁)

        cioè f è crescente in (a,b)

⊙ LE ALTRE TRE DIMOSTRAZIONI SONO ANALOGHE

TEOREMA (caratteristiche delle funzioni costanti)

Sia f : (a, b) → ℝ

Allora

• (f è costante) ↔ (f' è 0)

DIM.

1. OVVIO

⇒ 0 sappiamo già

←

2. Siano x₁, x₂ ∈ (a,b) con x₁ ≠ x₂

Dal teorema di Lagrange si ha che:

∃ c ∈ (x₁, x₂) : f(x₁) - f(x₁) =f'(c) (x₁ - x₁)

                      0 ⇒ 0

                        0

=> f(x₁) = f(x₂) (cioè f' è costante in (a,b))

Ricerca dei punti di max/min

Classificazione dei punti stazionari

Sia f: (a,b) -> R derivabile

Sia x₀ un punto stazionario di f cioè f'(x₀) = 0

Risolvendo la disequazione f'(x) > 0 si ha:

pt di min

pt di max

pt di flesso

Esempio

f(x) = x e^{- x2}

lim (x -> +∞) x e^-x2 = 0

lim (x -> 0) x e^x2 = 0

lim (x -> +∞) x e^x2 = 0

lim (x -> ±∞) x² e^-x2 = 0

f(x) = e^-x + x e^-x =

D = (-∞, +∞)

f(x) = x e^-x2 > 0, x > 0

1 - x² > 0, x = ± R

Punti stazionari (zeri della derivata prima)

Significato geometrico della derivata seconda

y = f(x), f(0) = 0, f'¹(0) = 0

Determinando R in modo da considerare la "migliore" circonferenza approssimando il grafico di f

• Equazione della circonferenza di centro C₀, R e raggi R/ x² + (y_c - R)² = R² \ y_c = 0 y_c² - 2y_cR = 0y_c = R² + x² - x x = R - √R² - x² y = R - √R² - x²
• Semi circonferenza inferiorey_c (x) = 0 - √R² - x²y_c' (x) = - x √R² - x²2√R² - x²√R² - x² + x √(R² - x²) R⁴ - x²(R² - x²) √(R² - x²)³ √(R²)³y_c" (0) = ^{R2 + 1} R³ Rf"¹ (0) = ¹ RR = ¹ f"¹ 0)

La derivata seconda geometrica mente e il reciproco del raggio della migliore circonferenza approssimato sul grafico di f in in suo punto.

f(x) = 0 ⇔ x² - 5x + 6 = 0 ⇔ x =

(2,0) (3,0)

1. Limite agli estremi del dominio

lim x → -∞

e^-x√(x² - 5x + 6) - e^-x√(x²(1 - 5x + 6_x²))

=

- lim x → -∞

e^-x(-x)√1 - 5^x2 + ∞

2 = ∞

- lim x → ∞

e^-x√x² - 5x + 6 . lim x → +∞

√x² + 5x + 6

for x → +∞

2. Asintoti obliqui

lim x → ∞

e^-x(-x)

lim x → ∞

e^-xx = ∞

lim x → -∞

e^-x(-x)

lim x → -∞

e^-xx = - ∞

f non ammette asintoti obliqui per X → ∞

3. Derivata prima

f'(x) =(e^-x)√x² - 5x + 6 + e^-x.1 (2x - 5) =

-2(x²-5x+6) + 2x - 5 - e^-x

- 2 √x²-5x+6 =

= -2x² + 2x - 1/f e^-x vale per

x ∈ (-∞, 0), ∪(3, +∞)

- f'(2) = lim x → 1⁺

lim. f'(x) = lim. -2 x + 1 _ 2x - 1/f e^-x

x → 2 √x²-5x+6

___, 0

->div;0 =∞

f'(3) = lim. f'(x) = ∞

f'(2) __ = -∞ __ f'(3) =.+∞

Punti di non derivabilità

1. _y > 0

∫_a^b g(x) dx = Area(R)

2. _y < 0

∫_a^b g(x) dx = -Area(R)

- g segno variabile

∫_a^b g(x) dx = Area(R₁) - Area(R₂) + Area(R₃)

OSS. 1) a ≤ b ⇒ ∫_b^a f(x) dx = -∫_a^b f(x) dx ;

2) c ∈ ℝ ⇒ ∫_a^b c dx = c (b-a)

L'insieme delle primitive di una funzione : ⊆ ℝ intervallo.

Integrale indefinito

Dal teorema precedente si ha che se è primitiva di in allora:

∫() = () + ( ∈ ℝ)

Esempi:

• ∫ = ²/2 +
• ∫ cos = sen +

Prime regole di integrazione

∫ ^a = ^a+1/(a+1) + ( ∈ ℝ) per a ≠ -1

Esempi:

1. ∫ ² = x³/3 +
2. ∫ √ = ∫ ^1/2 = 2/3 x^3/2 +
3. ∫ 1/² = -1/ +
4. ∫ ^-5/2 = -2/(3√x³) +

Dim.

1. Sia x_o ∈ [a,b] e sia h > 0

   Allora:

   F⁺(x_o) = lim_h→0 [F(x_o+h) - F(x_o)] / h =

   = lim_h→0 1/h [∫_a^x_o+h β(t)dt - ∫_a^x_o β(t)dt] =

   = [ADD. ESTREM]

   = lim_h→0 1/h (∫_xo^x_o+h β(t)dt) =

   = lim_h→0 1/h ∫_xo^x_o+h β(t)dt

   = [TEO. MEDIO]

   = lim_h→0 1/h β(c_h)h =

   = β(x_o) => F'(x_o) = β(x_o)

   Analogamente F'^-(x_o) = β(x_o).

   Quindi F è derivabile in x_o e la sua derivata è proprio F'(x_o) = β(x_o),

   cioè F è primitiva di β.

2. Sia G una primitiva di β in [a,b].

   Dal teorema sulle proprietà delle primitive segue che

   ∃ c ∈ ℝ : G = F + C.

   Di conseguenza

   • G(b) = F(b) + c = ∫_a^b β(t) dt + c ;
   • G(a) = F(a) + c - ∫_a^a β(t) dt + c. = c