Integrali, calcolo integrale - Analisi 1

CALCOLO

INTEGRALE

Si introduce il capitolo con una riflessione…

Noto il tasso di variazione puntuale di una funzione (quindi la derivata prima), ci si pone

l’obiettivo di risalire al valore stesso della funzione. Si deve quindi svolgere il procedimento

inverso di quanto visto con le derivate. E di questo si occupa il calcolo integrale.

PRIMITIVE E INTEGRALE INDEFINITO

PRIMITIVE

DEFINIZIONE (,

: ) → ℝ

Sia

(,

: ) → ℝ

Una funzione si dice PRIMITIVA DI IN se:

• è [, ]

• ′ ()

= () ∈ [, ]

Esempi 2

• () = () = +

2

Se infatti si prova a derivare la primitiva…

′ ()

= () 1

• () = cos (3) () = sin (3) +

3

PROPRIETA’ DELLE PRIMITIVE

(, (,

: ) → ℝ : ) → ℝ .

Sia e sia primitiva di Allora…

+

1. è ancora primitiva di

Si dimostra

Considerando che è una costante e la sua derivata vale 0

′ ′

( + ) = + 0 =

( + )

E quindi è ancora una primitiva.

, ∃ ∈ ℝ: = +

2. Data primitiva di allora e cioè se è nota una primitiva allora

sono note tutte le primitive di quella funzione.

Si dimostra

Sia primitiva di ′ ′ ′

( − ) = − = −

Si calcoli perché sia che sono primitive di

Vale allora il teorema di caratterizzazione delle costanti:

∃ ∈ ℝ: − = → = +

INTEGRALE INDEFINITO

DEFINIZIONE (, ) (, )

L’insieme delle primitive di in si dice INTEGRALE INDEFINITO di in e si

indica in questo modo:

∫ () = () + ( ∈ ℝ)

PRIME REGOLE DI INTEGRAZIONE

+1

•

= + ( ≠ −1)

∫ +1

• = log || +

∫ 1

> 0 → [log||] =

Da notare che si mette il valore assoluto in x perché 1

< 0 → [log|−|] =

•

= +

∫

•

= +

∫ log ()

• () = − cos() +

∫

• () = sin() +

∫

• () = −log(|cos ()|) +

∫

• = arctg(x) +

∫

+

• = arcsin(x) +

∫

√ −

• = x +

∫

INTEGRALE DEFINITO

INTERPRETAZIONE DELL’INTEGRALE DEFINITO

].

Si consideri una funzione continua definita in un intervallo [, .

L’obiettivo è quello di calcolare l’area della regione di piano sottesa al grafico di

Si suddivide ora l’intervallo [a,b] in sottointervalli.

Poi si considerano dei punti nei sottointervalli e le loro relative immagini.

Si guardano ora i rettangoli che hanno per base gli intervallini dei punti scelti e come altezza

il valore dell’immagine di questi punti.

Se considero l’area sommata di quei rettangoli si sta facendo un’approssimazione dell’area

sottesa al grafico della funzione. Se aumentano il numero dei rettangoli l’approssimazione

migliore. [, ]:

Dividendo in sottointervalli è stata effettata una partizione di

{

= = < < < ⋯ < = }

0 1 2

Si scelgono ora i punti nei sottointervalli nei quali andrà considerata l’immagine della

[ ]

∈ , ( = 1,2,3, … , )

funzione: −1

Si considerano ora la somma delle aree dei rettangoli e si ottiene la cosiddetta “somma

) ))

(, = ∑ ( − ) ∙ ((

integrale” −1

=1

( ≥ 0)

Se la funzione è positiva allora la somma integrale è assimilabile all’area sottesa al

)

(, ≅

grafico di

Si definisce integrale definito della funzione:

)

∫ () = (,

CALCOLO DI AREE

≥ 0

Se ∫ () = ()

≤ 0

Se ∫ () = −()

ℝ

Se ha valori in ∫ () = − +

1 2 3

In generale l’integrale definito è una somma di aree con segno, più specificatamente è

una misura.

PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO

LINEARITA’

∫ ( ∙ () + ∙ ()) = ∫ () + ∫ ()

MONOTONIA

≤ → ∫ () ≤ ∫ ()

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

() | ≤ ∫ |()|

|∫

ADDITIVITA’ SUGLI ESTREMI

() = () + () ∈ [, ]

∫ ∫ ∫

OSSERVAZIONI

• () = 0

∫

• < → () = − ()

Se ∫ ∫

• ∈ ℝ) → = ∙ ( − )

Data come costante ( ∫

TEOREMA DELLA MEDIA

ENUNCIATO [,

: ] → ℝ

Sia una funzione continua.

[,

∃ ∈ ]: () = () ∙ ( − )

Allora ∫

()

∫

() () =

si dice media integrale ed è quindi (−)

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Esisterà un punto per cui l’area della regione di piano sottesa a f sarà uguale all’area del

[, ] ()

rettangolo che ha come base l’intervallo e come altezza il valore

DIMOSTRAZIONE

PRIMO PASSAGGIO [,

: ] → ℝ

Per ipotesi so che è una funzione continua e quindi il teorema di Weierstrass

assicura l’esistenza di un minimo e un massimo tra i quali, per il teorema dei valori

intermedi, è compresa la funzione. [,

≤ () ≤ ( ∈ ])

SECONDO PASSAGGIO

Per la proprietà di monotonia

∫ ≤ ∫ () ≤ ∫

Ma poiché ed sono due costanti posso riscrivere i due integrali in questo modo:

(

∫ = ∙ − ) ∫ = ∙ ( − )

( − ):

Riscrivo la quantità in blu e poi divido per

() ()

∫ ∫

( (

∙ − ) ∙ − )

≤ ≤ ≤ ≤

( ( ( (

− ) − ) − ) − )

TERZO PASSAGGIO ()

∫

[,

∃ ∈ ]: () =

Per il teorema dei valori intermedi (−)

FUNZIONE INTEGRALE

DEFINIZIONE

() = ∫ () ∈ [, ]

()

La funzione integrale è l’integrale della funzione al variare di x

PROPOSIZIONE [,

],

Data la funzione continua in allora anche la funzione integrale è continua

DIMOSTRAZIONE

[,

∈ ]

Sia e si ipotizzi che i punti siano disposti nel seguente ordine

0 |() )|

() ( ): 0 ≤ − (

Si valuta la distanza che vi è tra ed 0 0

Si sfrutta la proprietà di monotonia dell’integrale e si scrive che:

0

0 ≤ () − ∫ ()

|∫ |

Si sfrutta la proprietà di additività dell’integrale e si scrive che:

0 0

0 ≤ |∫ () + () − () | 0 ≤ |∫ () |

∫ ∫

0 0

Si sfrutta la proprietà di disuguaglianza triangolare dell’integrale e si scrive che:

|()|

0 ≤ () ≤ ∫

|∫ |

0 0

()

Poiché è una funzione continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass,

la funzione ammetterà minimo assoluto e in particolare massimo assoluto. Quindi si può

() ≤ .

affermare che

E quindi, sempre per la proprietà di monotonia si può affermare che:

|()| | |

0 ≤ ∫ ≤ ∫ = ∙ −

0

0 0

Si riscrive la disuguaglianza tenendo anche conto delle quantità quadrate in rosso:

|() )| | |

0 ≤ − ( ≤ ∙ −

0 0

→

Di questa disuguaglianza si esegue il limite per 0

0 )

(

0

0 |() )| | |

0 ≤ − ( ≤ ∙ −

0 0

)) )

lim (() − ( = 0 lim () − lim ( = 0

Per il teorema del confronto e cioè

0 0

→ → →

0 0 0

)

lim () = (

Quindi e cioè è continua in

0 0

→

0

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

DEFINIZIONE

[,

: ] → ℝ

Sia una funzione continua, allora la funzione integrale di è una primitiva

;

di

() = () − () .

Inoltre , dove è primitiva di

∫

DIMOSTRAZIONE

PRIMA PARTE

Nella prima parte del teorema bisogna dimostrare che è primitiva di e quindi va

′

= ).

dimostrato che è derivabile (

Ricordando che una funzione è derivabile se derivata destra e sinistra coincidono, risulta:

+ℎ

() − ()

∫ ∫

( + ℎ) − ()

′ = lim = lim =

+ ℎ ℎ

+ +

ℎ→0 ℎ→0

Sfruttando la proprietà di additività sugli estremi per l’integrale evidenziato in arancione:

+ℎ

() + () − ()

∫ ∫ ∫

= lim =

ℎ

+

ℎ&ra