Calcolo vettoriale
18\3
Consideriamo α = (α1, α2, α3) e β = (β1, β2, β3)
Prodotto vettoriale
α ∧ β = det| i j k || α1 α2 α3 || β1 β2 β3 |
- antisimmetria
- bilinearità
- identità di Jacobi
Prodotto scalare
α ∙ β = ∑ αi βi
OSS Sia α , β , γ
α ∧ (β ∧ γ) = det| α1 α2 α3 || β1 β2 β3 || γ1 γ2 γ3 |
- PROP
- (1) (α ∧ β) ∙ γ = (β ∧ γ) ∙ α = (γ ∧ α) ∙ β ciclicità del prodotto misto
- (2) α ∧ (β ∧ γ) = α ∙ (β ∧ γ) = 0
- (3) ‖α ∧ β‖² = ‖α‖²‖β‖² - (α ∙ β)² Identità di Lagrange
Vec. per le superfici, due vettori saranno tangenti => α ∧ γ = ∠ angolo = area
Area paraellogramma = α β - α
- LERTA Siano α, n: [a,b] → ℝ3
Funzione vettoriale
3 funzioni ℝ → ℝ
Es. di dt/dt = α'(t) ∙ α(t) + α(t), d'(t)> = 2 α'(t) ∙ α'(t)
‖α'(t)‖ ∈ cost => α'(t) ∙ α(t) = 0 => α(t), d'(t)
Funzione vettoriale
- (1) d/dt (α(t) ∙ m(t)) = α'(t) ∧ m(t) + α(t) ⋅ m'(t)
- (2) d/dt (α(t) ∧ m(t)) - α'(t) ∧ m(t) + α(t) ⋅ m'(t)
Calcolo vettoriale
Consideriamo α = (α1, α2, α3) e β = (β1, β2, β3)
Prodotto vettoriale
α ∧ β = det
- i j k
- α1 α2 α3
- β1 β2 β3
- Antisimmetria
- Bilinearita
- Identità di Jacobi: (α ∧ β) ∧ γ + (β ∧ γ) ∧ α + (γ ∧ α) ∧ β = 0
Prodotto scalare
α · β = 3∑i=1 αi βi
OSS
Sia α, β, γ
α ∧ β · γ = det
- α1 α2 α3
- β1 β2 β3
- γ1 γ2 γ3
PROP
(1) α ∧ β ∧ γ = γ ∧ α ∧ β ∧ γ ciclicità del prodotto misto
(2) α ∧ α = α ∧ β = 0
(3) ‖α ∧ β‖2 = ‖α‖2 ‖β‖2 - (α · β)2 Identità di Lagrange
pec.le superfici, due
vettori saranno tangenti => α0 angolo + area
dav: identità di Lagrange:
OSS (α ∧ β)2 = (α · β)2 cos αβ
(α ∧ β)2 = (‖α‖ ‖β‖)2 (1 - cos2αβ) = ‖α‖ β sin αβ
=> 1/2 ‖α ∧ β‖ = ‖α‖ β sin αβ α · 1/2 β area parallelogramma formula dai vettori
1/2α ∧ β ⇒ α ∧ β 2 area
LEMTRE
Siano α m (a,b) β derivabil.
Ancra valgono le formule di Liplanc → come la derivata del prodotto
- (1) d/dt α(t) m(t) = α(t), m(t) + α(t), m'(t)
- (2) d/dt [ α(t) ∧ m(t) ] - d [ α(t) ∧ m(t) + α(t) ∧ m'(t)
---------- [α: (a,b) R³]
- [t ↦ α1(t)
- α2
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