Analisi 2, prima parte

Calcolo vettoriale

Consideriamo α = (α₁, α₂, α₃) e β = (β₁, β₂, β₃)

prodotto vettoriale α ∧ β = det i j k α₁ α₂ α₃ β₁ β₂ β₃

• Antisimmetria
• bilinearità
• Identità di Jacobi: […]

prodotto scalare: […]

OSS.: Sia α, β ε R³

α ∧ (α ∧ β) = det α₁ α₂ α₃ α₁ α₂ α₃ β₁ β₂ β₃

PROP:

• (1) α ∧ β = - β ∧ α → ciclicità del prodotto misto
• (2) α ∧ β ∧ α = 0
• (3) ||α ∧ β||² = […]

per le superfici due vettori sarano tangenti → α₀, angolo + area OSS: cos β = ( […] ) ||α ∧ β|| = ||α|| ||β|| (1 - cos² δ)

LENZIA: Siano α, m: [_a, _b] → R³ derivabili.

Allora valgono le formule di Leibniz →… con reg. derivata del prodotto (1) d/dt ( […] ) = (a (t), n(t))

Funzione vettoriale d: [_a, _b] → R³

ES. d/dt ||α(t)||² = 2α(t)

a(t), [a,b] → ℝ³

⟨α(t), [a,b] → ℝ³

t → (α₁(t), α₂(t), α₃(t))

∫_a^b a(t) dt = ( ∫_a^b α₁(t) dt, ∫_a^b α₂(t) dt, ∫_a^b α₃(t) dt )

LEMMA

(a) Sia α ∈ C⁰([a,b], ℝ³). ∫_a^b α'(t) dt = α(b) - α(a) stop fond.

(2) Sia c ∈ ℝ³, allora ⟨c, ∫_a^b α(t) dt⟩ = ∫_a^b ⟨c, α(t)⟩ dtc = (c₂, c₃)

(3) Sia α(t) derivabile a.e. allora.

| ∫_a^b α(t) dt | ≤ ∫_a^b ||α(t)|| dt

dimostrazione(3):

| ∫_a^b α(t) dt |² = ⟨ ∫_a^b α(t) dt, ∫_a^b α(t) dt ⟩ = ∫_a  ⟨ ∫_a^b α(t) dt, α(t) > dt

≤ [ ∫_a^b ||α(t)|| dt ] [ ∫_a^b ||α(t)|| dt ] per disuguaglianza diCauchy-Schwartz

= ∫_a^b ||α(t)|| dt = ⟨ ∫_a^b ||α(t)|| dt, ∫_a^b ||α(t)|| dt ⟩ = ∫_a^b ||α(t)|| dt ||α(a)||

NOTAZIONE

SIA V:ℝ³ → ℝ³/* campo vettoriale */* trasforma vettori in vettori

⟨ V < V ⟩ = div V := ∂_x V₁ ∂₂ V₂ ∂₃ V₃ /* divergenza */

W: ℝ³ → ℝ

∇ W = (∂W_x, ∂W_x + ∂W₃)

(∇W_x(x, y, z)) /* gradiente */

div (∇W_x) = ∇² = ∂² W_x + ∂² W_y + ∂² / ∂z² W *operatore di Laplace

rot V = det ( ∂x ∂y ∂z ⟨ ∇ V ⟩ /* rotore */V₁ V₂ V₃

• rot ∇ grad f = 0
• d(curl v.^x)/ dt V = 0
• div grad f = Δf = ∇² f

Lunghezza di una curva

Sia γ una curva di parametrizzazione r : [a, b] → ℝ³.

• Sia ∂ := {a = t₀ < t₁ < ... < tn = b} e siano pj := r(tj) i = 0 ... n.Detta ∑ la poligonale che congiunge pj, la sua lunghezza è pari al(∑) = ∑_i=1ⁿ ║pi_i - pi_i-1║.

Diciamo lunghezza di l(γ) = sup l(∑)

l([c(t), c]) = r(c₁)₀ al tempo prism

r(b)

r(a)[l(t₁) - r(a)]]a

Es. Sia f(x) = { 0 se x >= 0x sin(π/(2x)) se x ≠ 0 }

lim_x→0 f(x) = 0

Sia c : [0, 1] → ℝ la curva γ = r(b), r(i, φ(t))

Mostriamo che l(γ) = +∞

• Sia ∂ := { 0, 1/π 1/3 1/4 1/5 1/6 ... }i 1/2jπ 5 3 1/4 ...

Osservazione che:sin (-(2j-1)π/2) = (-1)^j-1 sei j = 1 ... n

Allora Pj+1 = r(tj+3) = (tj, -1/4, φ(tj+1) = 1/2j+1 (-1)^{2j+3/(-2j+1)x}

Devo calcolare ║Pj+1 - Pj║

√(1/(4j²-4)) = (1/(3/4)) (1/(j²-1)) = √(1/(1/4)) ((-1)^j+14)^34(j³-1) = √((1+j+16) j^{+4)-12/(4j²-1)j = 1 ≤ 1 √(x-4)(j²)+4}

In conclusione l(γ) ≥ l(∂∞) ≥ ∑_n=1 1/p nas o ∞ non è restituibile.

Sappiamo divergere

φ'>0 => ∫₀^φ(β) || (r_X(τ₁ (φ(t_τ))) || r'₂(φ(t_τ))) || φ'(t) dτ [x φ'(t) zt]t = ∫_α^β || r_X(τ(t)) || r'₂(t) || dt = ∫_γ^v ds

φ' ∫₀^φ(β) || (r_X(τ₂ (φ(t_τ))) || r'₁(φ(t_τ))) || φ'(τ(x) dτ = ∫_β^γ || r_X(τ(t)) || r'₂ || dt = ∫_v^γ ds

Ottenego uguale risultato sia per φ'>0 che φ'