Analisi matematica 2

Z. N

non nulli a cui viene anteposto un segno meno.

{· · · −3, −2, −1, · · · }.

= , 0, 1, 2, 3,

Z

Facendo cosı̀ si riesce a dare significato a qualsiasi sottrazione fra numeri naturali. Però

purtroppo non riusciamo ad eseguire sempre la divisione fra numeri naturali (e quindi

interi).

L’insieme Gli elementi di questo insieme sono i tutti i rapporti fra numeri interi

Q.

in cui il divisore è non nullo. {x | ∈ 6

= ax + b = 0, a, b a = 0}.

Q Z,

In questo modo è ammessa sempre la divisione fra numeri naturali (e quindi interi) ed

ogni numero intero non nullo ha sempre inverso moltiplicativo.

Ogni elemento di può essere di almeno uno dei seguenti tipi:

Q 1

• ha un numero finito di cifre dopo la virgola, come = 0.5;

2

• ha un numero infinito di cifre dopo la virgola, ma vi è una sequenza finita di cifre

13 2

che si ripete all’infinito, come = 0.3333 . . . = 0.3 oppure = 0.133333 . . . = 0.13.

15

6 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

1.5 - Insiemi ordinati

L’insieme Questo insieme viene introdotto per motivi geometrici. Esistono numeri

R.

che non sono rapporti fra numeri interi:

• in un poligono regolare di lato 1, la diagonale non è un numero razionale;

• il rapporto fra la misura di una circonferenza ed il suo diametro non è un numero

razionale.

L’insieme si può definire come l’insieme dei numeri razionali unito ai numeri che hanno

R

dopo la virgola un numero infinito di cifre che non si ripetono periodicamente.

2

Teorema 1.6. La soluzione dell’equazione x = 2 non appartiene all’insieme Q.

Dimostrazione. Nelle scuole avete imparato ad indicare la soluzione dell’equazione

√

2 2. Per semplicità di trattazione lo faremo anche noi. Pro-

x = 2 con il simbolo

√ 6∈

viamo quindi che 2 Q. √

Per assurdo, supponiamo che 2 sia razionale, ovvero che esistano due numeri interi

6

a e b = 0 non entrambi pari (cfr. Esercizio 1.3) tali che

√ a

2= .

b

Per definizione di radice quadrata si ha

2

a 2 2

−→

=2 a = 2b .

2

b

2 2

Ne consegue che a è un numero pari perché è il doppio di b , e che a è un numero

∈

pari (cfr. Esercizio 1.5). Quindi a = 2k con k da cui

Z:

2 2 2 2 2 2

−→ −→

a = 2b 4k = 2b b = 2k .

Da quest’ultima ugualianza si ha un assurdo, perché a e b sarebbero entrambi pari.

Il teorema appena dimostrato si può generalizzare per l’equazione

n

x = a

in cui a è un numero naturale che non è potenza di n.

Nell’insieme dei numeri reali si distinguono i numeri algebrici e i numeri trascendenti. I

numeri reali algebrici sono soluzioni reali di equazioni polinomiali a coefficienti interi.

I numeri reali trascendenti sono numeri reali non algebrici.

Ogni radice di un numero razionale è algebrico. La dimostrazione che un numero non è

algebrico puo essere anche molto complicata. Esempi di numeri trascendenti sono π (pi

greco) e e (numero di Nepero).

1.5 Insiemi ordinati 1

≤

Sia A un insieme non vuoto. Una relazione d’ordine su A è una relazione che

verifica le seguenti proprietà:

1 Una relazione è una corrispondenza fra elementi di A. Si suole indicare che gli elementi a, b di un

insieme stanno in relazione con aRb.

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 7

Capitolo 1 - Insiemi e funzioni

• ∈ ≤

riflessiva: per ogni a A si ha a a;

• ∈ ≤ ≤

antisimmetrica: per ogni a, b A, se a b e b a allora a = b;

• ∈ ≤ ≤ ≤

transitiva: per ogni a, b, c A, se a b e b c allora a c.

Esistono vari tipi di relazione d’ordine.

• Ordine totale. Se ogni coppia elementi di A sono confrontabili.

• ∈ ≤ ∈

Buon ordine. Se esiste un elemento a A tale che a b per ogni b A.

Esempio 1.7. L’ordinamento usuale che poniamo sugli insiemi numerici N, Z, Q, R

è un ordinamento totale. Su si ha anche un buon ordine.

N P(A)

Esempio 1.8. Sia A un insieme. Sull’insieme l’inclusione insiemistica defini-

sce un ordinamento che non è totale. {a, {a} {b}

Infatti se consideriamo l’insieme A = b}, i sottoinsiemi e non sono

confrontabili.

1.6 Il principio di induzione

Il principio di induzione si basa sull’assioma di induzione. Esso afferma che se P (n)

è una proprietà che dipende da n numero naturale tale che

• P (0) è vera

• P (n) vera implica P (n + 1) è vera

allora P (n) è vera per ogni n numero naturale.

Esempio 1.9. Dimostriamo che la formula

n n(n + 1)

X

(1.1) i = 2

i=1

è vera.

La formula è banalmente vera per n = 1. Posto che la formula sia vera per n,

vediamo se è vera per n + 1:

n+1 n n(n + 1) (n + 1)(n + 2)

X X

i = i + (n + 1) = + (n + 1) =

2 2

i=1 i=1

che è il secondo membro della formula (1.1) ma con n+1.

1.7 Funzioni

Una funzione dall’insieme A all’insieme B è una associazione di elementi fra i due

insiemi tale che ad ogni elemento di A viene associato uno ed un solo elemento di B.

L’associazione degli elementi fra i due insiemi è chiamata anche legge della funzione.

L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B è detto codominio della

funzione.

8 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

1.8 - Funzioni iniettive e suriettive

{a, {1,

Esempio 1.10. Siano dati gli insiemi A = b, c} e B = 2, 3}. Allora la legge

f definita come f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 2

è una funzione. A B

f

a 1

2

b

c 3

Come si può notare dall’esempio che abbiamo appena esposto può capitare che

ad elementi differenti del dominio sia associato lo stesso elemento del codominio.

Ciò che non può accadere ad una funzione che allo stesso elemento del dominio

vengano associati più elementi del codominio. Inoltre non è vietato dalla definizione

di funzione che possano esserci elementi del codominio che sono associati a nessun

elemento del dominio. ∈

Consideriamo la funzione dell’Esempio 1.10. Si ha f (a) = 1. Si dirà che: l’elemento a

∈ ∈

A ha come immagine tramite f l’elemento 1 B; l’elemento a A è controimmagine

∈

tramite f dell’elemento 1 B.

Si definisce l’insieme delle immagini di una funzione come

{y ∈ | ∃x ∈ |

Im(f ) = B A y = f (x)}.

Esempio 1.11. Considerando la funzione dell’Esempio 1.10, l’insieme delle imma-

{1,

gini di f è 2}.

Esempio 1.12. Una particolare funzione è la funzione identità. Sia A un insieme

→

non vuoto. Allora la funzione identità su A è una funzione id : A A con legge

A

id (x) = x.

A

1.8 Funzioni iniettive e suriettive

→

Funzioni iniettive. Una funzione f : A B è iniettiva se esiste una corrispodenza

uno ad uno fra dominio ed insieme delle immagini.

Oppure possiamo dire che che una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio

ammette non più di una controimmagine. {a, {1,

Esempio 1.13. Siano dati gli insiemi A = b, c} e B = 2, 3, 4}. Allora la

legge f definita come f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3

è una funzione iniettiva perché è una corrispondenza uno ad uno fra dominio e

Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru. 9

Capitolo 1 - Insiemi e funzioni

{1,

l’insieme delle immagini Im(f ) = 2, 3}.

A B

f

a 1

2

b

c 3

4 →

Esiste un altro modo di definire le funzioni iniettive. Una funzione f : A B è iniettiva

se ⇒

f (x) = f (y) x = y.

Esempio 1.14. Il secondo modo che abbiamo dato per definire le funzioni iniettive

è particolarmente utile quando abbiamo funzioni fra insiemi numerici. Consideriamo

2

→

la funzione f : con legge f (n) = n . Proviamo che la funzione è iniettiva.

N N 2 2

∈

Siano n, m tali che f (n) = f (m) ovvero n = m . Allora

N

2 2 2 2

→ − → −

n = m n m = 0 (n m)(n + m) = 0.

Ricordando che in abbiamo che ab = 0 se almeno uno dei due fattori è nullo, si

N

−

ottiene n m = 0 da cui n = m. La funzione risulta quindi essere iniettiva.

→

Funzioni suriettive. Una funzione f : A B è suriettiva se l’insieme delle immagini

è uguale al codominio. Oppure possiamo dire che una funzione è suriettiva se ogni

elemento del codominio ammette almeno una controimmagine.

{a, {1,

Esempio 1.15. Siano dati gli insiemi A = b, c, d} e B = 2, 3}. Allora la

legge f definita come

f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3, f (d) = 3

è una funzione suriettiva perché l’insieme delle immagini è uguale al codominio.

A B

f

a 1

2

b

c 3

d

10 Appunti di Analisi 1 di Nicola Pintus e Piermario Schirru.

1.9 - Funzioni composte

→

Funzioni bigettive. Una funzione f : A B è bigettiva se è iniettiva e suriettiva.

{a, {1,

Esempio 1.16. Siano dati gli insiemi A = b, c} e B = 2, 3}. Allora la legge

f definita come f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3

è una funzione bigettiva essendo iniettiva e suriettiva.

A B

f

a 1

2

b

c 3

→

Esempio 1.17. Consideriamo la funzione f : con legge f (n) = n + 1. La

N N

→

funzione è iniettiva: da f (n) = f (m) n + 1 = m + 1 discende n = m. La funzione

∈

non è suriettiva perché non esiste n tale che f (n) = 0.

N →

Esempio 1.18. Consideriamo la funzione f : con legge f (n) = n + 1. La

Z Z

funzione è iniettiva come nell’esercizio precedente. La funzione è anche suriettiva

perché in ogni numero ha precedente. Quindi la funzione è bigettiva.

Z

1.9 Funzioni composte

Affrontiamo ora la questione della composizione di funzioni. Siano date due funzioni

→ →

f : A B e g : B C. Vogliamo definire una nuova funzione avente dominio A e

codominio C che applica prima f e poi successivamente g. Si definisce la funzione f

◦ →

composto g, g f : A C la cui legge è

◦

(g f )(x) = g (f (x)) . →

Esempio 1.19. Consideriamo le due funzioni f : con legge f (x) = x + 1 e

R R

2

→ ◦ → ◦

g : con legge g(x) = x . La funzione g f : ha legge (g f )(x) =

R R R R

2

g (f (x)) = (x + 1) . → →

In generale, se abbiamo due funzioni f : A B e g : C D, affinché si possa costruire

◦

g f deve accadere che l’insieme immagine di f è contenuto nel dominio di g,

⊆

Im(f ) C. →

Esempio 1.20. Consideriamo le due funzioni f : con legge f (x) = x + 3 e

R R

1

− {0} → ◦

g : con legge g(x) = . Non si può costruire g f