Analisi 2, terza parte

Teorema delle funzioni implicite (del Dini)

Situazione 1

• z = f₁(x,y), x² + y² - 1 = 0 | ℝ² circ. di raggio 1
• Se chiamiamo F(x,y,z) = x² + y² - 1 allora la circonferenza è il luogo degli zeri di F.

y₁ = g(x)

F(x,y,z) = y - f₂(x) = 0 | y₁ = g(x)

z = h(x,y), F(x,y,z) = z - h(x,y) = 0

Qui non possiamo isolare una variabile: non è una funzione.

Ma posso guardare solo parte superiore (o inferiore).

Copriamo ed esprimiamo

• y² + 1 = x² → y = √1 - x²
• [√1 - x² e [-√1 - x²]
• x ∈ [-1,x₀] ∪ [0, x1]
• φ(x) :
• √1 - x² x ∈ [-1, x₀] ∪ [0, x1]

Là cost, stiamo guardando la continuità.

Situazione 2

• F(x,y,z) = x² + y²; e sia z₂ = f₁(x,y); F(x,y,z) = 0 | F(x,y) ≠ 0, c’è almeno (0,0)
• 1) Non riesco a isolare una variabile.
• 2) La geometria non mi aiuta.

z = k

z = F(x,y)

k = F(x,y)

F(x,y) ↔ k = 0

Teorema delle funzioni implicite (del Dini)

Situazione 1

• z(x,y)
• x₁² + y₁² = 0 | CL 0 e I_δ(x_o) = (y_o - δ, y_o + δ)^→

  tc F(̅x, φ(x)) = 0.

  e un intorno sferico

  Inoltre φ: è continua in x_o. Se ⋅ F ∈ C¹ (I_δ(x_o)) e

  ∂

  ∂x_i φ(x) = - (F_xi(̅x, φ(x)))

  ────────────

  F_y(̅x, φ(x))

  dim per ricorrenza

  I = ℝⁿ → ℝ

  x_o ∈ ℝ

  • x₂ = 1⇒ x =s
  • x_n-1 - 1 = 0

  x_n = 1 + x_o veda cosa succede per n + ∞

  T(x,y₀) = y-y₀ - ^F(x,y)/_Fy(x0,y0)

  L'(x) = y₀+T(x,φ(x))

  ⟹ T(x,φ(x)) = L'(x)-y₀ - ^F(x,φ(x))/_{Fy(x0,φ(x0))}

  Teo esistenza per sistemi

  Consideriamo il sistema

                     { F(x,y,u,v)=0

           {G(x,y,u,v)=0

  Supponiamo che esiste h(x,y,u,v) t.c. F(x,y,h(x,y,v),v)=0

  Sostituendo in G⟹G(x,y,h(x,y,v),v)=0

                Lg(x,y,v)=0

  ⟹v=g(x,v)⟹G(x,y,Q(x,y))=0

  ⟹h(x,u,Q(x,y))=t.c        { F(x,y,h(x,y),q(x,y))=0

                                   {G(x,y,h(x,y),q(x,y))=0

         → campo

         → vettoriale

                               ←H⟺(F)

  O=H⟺(F/G)

  ⟹significa risolvere quel sistema

  Consideriamo il sistema

        Fₑ(x,...x_n,y₁,...,y_h)=0

            .                .}

                   Fₑ(x,...x_n,y₁,...,y_h)≥0

  Se chiamiamo x̅=(x₁,...x_n)

  y̅=(y₁,...y_h)

  ⟹{F_i(x̅,y̅)=0

                 .}

           {F_n(x̅,y̅)≥0         D’altra parte prendiamo

  F:ↁⁿ×ↁʞ→ↁʞ  di componenti F=(F₁,...,F_n)

  ⟹il sistema si scrive F(x̅,y̅)≥0

  TEO

  Sia A ⊆ ℝ^n+h e sia F: A → ℝ^h di classe C⁴.

  Sia (x̄₀, ȳ₀) ∈ A t.c. F(x̄₀, ȳ₀) = 0̲. Supponiamo che

  det

  ( ǝ(F₁, ..., F_h ) / ǝ(y₁, ..., y_h) ) (x̄₀, ȳ₀) ≠ 0

  "invertibile" h lin. indipendenti allora esiste un I_δ(x̄₀) e J_δ(ȳ₀) ⊆ ℝⁿ ed esiste ϕ₁ = (ϕ₁, ..., ϕ_h): I_δ(x̄₀) → J_δ(ȳ₀) t.c. F(x̄₀, ϕ̅(x̄₀)) ≡ 0̲

  Anche in questo caso ϕ ∈ C⁴(I_δ(x̄₀) e

  ǝ(ϕ₁, ..., ϕ_h ) / ǝ(x₁, ..., x_n) = ( ǝ(F₁, ..., F_n ) / ǝ(y₁, ..., y_h) )^-1 ( ǝ(F₁, ..., F_n ) / ǝ(x₁, ..., x_n) ) (x - ϕ̅(x) )

  OSS

  ϕ ∈ C⁴(ℝ) e sia ϕ invertibile sia F(x, y₁) = y - f(x)

  Consideriamo l'equazione F(x, y) = 0

  Relativamente fo è contunua: yf^-1(x) monotona

  F_x(x, y) = ∂/∂x (y - f(x)) = -f'(x) ≠ 0, per qualche x_o

  f_y(x, y) = -1

  Applichiamo Dini su x: esiste δ e σ e q₁(y_o - δ, y_o + δ) = (x_o - δ, x_o + δ) t.c

  F(q, y₁, y) = 0

  ⇒ y = ϕ(a(y₁)) = 0 ⇒ ϕ(a(y₁)) = y

  Quindi troviamo che g = ϕ^-1

  q'₁(y) = - f_y(q₁(y₁), y₁) / F_x(q₁(y₁), y₁) = -1 / -f'(x) = 1 / f'(x) derivata dell'inversa

  Con teorema di Dini posso gestire la derivata delle inversioni

  con il moltiplicatore "locale" "ilocali" applicati al teorema

  Teo (invertibilità locale)

  Sia A ⊂ ℝⁿ aperto e f: A → ℝⁿ &element; C¹

  Sia x₀ &element; A e supponiamo che

  det   ≠ 0

  Ora esistono I_x e J_x(x₀) t.c f  I_x → J_x(x₀) ( visto nel * cambi di variabili)

  invertibile e la sua inversa φ^-1 : Jφ(x₀) → I_x è

  di classe C¹ e ∀ ũ &element; Jφ(x₀)

    =         [( )] ^-1 (I)

  F:ũ - φ(ũ) = 0 = dinì x sistemiy₁ - φ₁(x)→(1,0,...0)y₂ - φ₂(x) → (0,1,...0)y_n- φ(x) →(0,0,...,1)

  * | t = φ₁(x,y)   | s = φ₂(x,y)

  campo di   vari conquesto hp → è localmente invertibile

  si può fare passaggio da un integrale all' altro

  Es. _φ(x,y)= (x²-y², 2xy) = (u,v)

  φ : A → ℝ²

  dove A = {(x,y) ∈ ℝ² : 1 < x² + y² < 9}

  F1) consideriamo (-a,0) e (a,0)

  con a ∈ (1,3)

  φ(a,0)= (a²,0) , φ(-a,0) quindi non è iniettiva

  F2) J_φ =

  [2x -2y]

  [2y 2x]

  J_φ = 4(x²+y²) ≠ 0

  - J≠0 non ci assicura invertibilità globale

  Im φ : {(u,v) u²+v² < (x²-y²)² + 4x²y²

  = x⁴ + y⁴+2x²y² = (x²+y²)²}

  1 < u²+v² < 81

  prop Sia D dominio di ℝⁿ e φ: D → ℝⁿ al classe C¹ inò

  se se J_φ≠0  ∀ x ∈ D allora è trasforma

  punti interni in punti interni φ(D)

  prendo punto aperto J ≡ 0

  prendo intorno su cui J invertibile

  φ(x) non può

  essere su bordo ma interno costr

  teo invertibilità locale

  tra il bordo dove va a

  Se siamo fortunati: δD = δ f(D)

  Es. φ(x,y) = (x²- y², 2xy)

  D = {(x,y): x²+y² ≤ 1 e y ≥ 0}

  φ(D) = {(u,v) ∈ ℝ² : x²+v² ≤ 1}

  1 l’immagine è una circonferenza