Analisi 2, terza parte

Teorema delle funzioni implicite (del Dini)

Situazione 1

z₁=f(x,y), x² + y² = z₀ CLR 2 circonferenza di raggio 1.

Se chiamiamo F(x,y,z) = x² + y² - 1 allora la circonferenza è il luogo degli zeri di F.

y = f(x) F(x,y) = y - f(x) = 0   (y = g(x))

z = h(x,y) F(x,y,z) = z - h(x,y) = 0

x² + y² = 1  →  y = ±√(1-x²)

Qui non possiamo isolare una variabile. Non è una funzione.

(a φ(x) → 2 valori di φ(x))

Ma posso guardare solo parte superiore (o inferiore)

φ(x) = √(1-x²)   x ∈ [-1, x₀] ∪ [0, x₁]

φ(x) = -√(1-x²)   x ∈ ([x₀, 0] ∪ [x₁, 1])

← Così stiamo guardando la continuità

Situazione 2

F(x,y,z) = x² + y² + z² = 1 e sia z₂ = f(x,y). F(x,y) ≥ 0 ∣ f(x,y) = 0,

1) Non riesco a isolare una variabile

2) La geometria non mi aiuta

z = k  z = F(x,y)

k = F(x,y)  c) c'è almeno (0,0)

F(x,y,z) = k = 0

Teo dei dim: Funzione implicita dal carattere locale

Int. e unica

Sia F(x,y) continua tale che F_y(x,y) sia continua in un aperto A c R².

Se (x₀,y₀) E A t.c F(x₀,y₀)=0 e F_y(x₀,y₀) ≠ 0allora esistono δ,δ > 0 t.c F(x,y) = 0 definisce implicitamente un’unica f ( x∈(x₀-δ , x₀+δ) , y₀-δ , y₀+δ ) t.c

F(x, f(x))=0 ∀ x ∈ (x₀-δ , x₀+δ). Inoltre f è continua in x₀.

F(x,y) = x²+y²-1F_y(x,y) = 2y ≠0Se y ≠0 /\ (x,y) ∈ (*x₀), (*y₀)* /

F(x,y) = xey⁴ y e^x

F_y(x,y) = x y³ e^xF(0,0)=0F_y(0,0) = 1 ≠0 (x₀,y₀)≠0

∃! f : (−δ, δ) ⟶ (−δ, δ)F( x, f (x) ) = 0

Indifferentemente se ho un insieme che non riesco a rappresentare, se faccio zoom ho grado p di var.

Dim. Consideriamo il fatto che F_y(x₀,y₀) ≠0. Senza perdere in generalità, sia F_y(x₀,y₀) >0.

Dal teo al permaneral del segno F_y è positiva in un intervallo (x₀-δ,x₀+δ) (y₀-δ,y₀+δ).

Consideriamo per x ∈(x₀-δ , x₀+δ) fissato, la funzione y= f(x,y) = F(x,y),0=0

Posso dire che F è strettamente crescente. Quindi F(x₀,y₀-δ)0 consideriamo x − F(x,y₀−δ)

F(x, y, z) = 0

x² + y² + z² - 1 = 0

z = F(x, y) z - F(x, y) = 0

Ingenere F(x₁, ..., x_n) = 0 in ℝⁿ

In determinate condizioni sulle derivate mi aspetto di riuscire localmente a trovare una implicita

Superfici che localmente sono graf. di una sup. cartesia y = h(x, z)z = q(x, y)x = t(y, z)

In ℝⁿ x_n = F(x₁, ..., x_n...) ipersuperficie

TEO (Dini per funzioni in più variabili) H-S

Sia x̄ = (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ e sia y ∈ ℝ sia F(x, y) ∈ C¹ (A ⊂ ℝⁿ⁺¹) ∈ (x̄, ȳ)

Sia (x₀, y₀) ∈ A tc F(x₀, y₀) = 0e tale che F_y (x₀, y₀) ≠ 0.F : ℝⁿ⁺¹ → ℝ

Allora esistono δ, δ > 0 e φ : I_δ(x₀) → (y₀ - δ, y₀ + δ) t.c F(x , φ(x)) = 0.

e è un intorno stretto∀ x ∈ ℝ : ||x - x₀|| ≤ δȳ ∈ C¹ (I_δ(x₀)) e

∂_j φ(x) = - _{Fxj (x̄, φ(x))}⁄ F_y(x̄, φ(x))

dim per ricorrenzaI = ℝ → ℝx ₁ ∈ ℝx₁, 1 - x_j ≠ xx_j, x̄ = x - x_j = 0^z_x = 1 + x

vedo cosa succede per n → ∞

Se f è localmente invertibile, non necessariamente lo è globalmente

1. Però se f è loc. invertibile i punti interni a D finiscono all'interno di f(D)
2. Il bordo potrebbe finire all'interno.

1. Ragioniamo.

f è localmente invertibile

Ora sappiamo che è globalmente invertibile, f^-1:

=> Anche f^-1 è localmente e globalmente invertibile

=> Se f fosse globalmente inv., ragionando su f^-1:

con a) ottengo che ∂D₁ ⊆ ∂f(D) condizione necessaria ma non sufficiente

TEO

Siano φ: A → ℝⁿ di classe C¹ con A aperto sia

D ⊂ A un dominio limitato e connesso tale che

J(x) ≠ 0   ∀ x ∈ D.

Se φ subordina una corrispondenza biunivoca

tra ∂D₁ ⊂ ∂φ(D) allora φ(D) è un dominio limitato e connesso e φ è globalmente invertibile.

φ(D)₁ ⊂ φ(D)