Analisi matematica 2 (prima parte)

FORMA

IN [01 02 [0 d

Data funzione

la +

-

: ,

, forma

denotiamo 0 (9) la in polare

8 associata f

curva

= a

02]

[01 send

(P(0) (0)

- 2000

: = ,

,

f(0)

Se 8

è allora è continua

continua

spec1(01 02]) C ((01 02])

-0 -

=

· ,

. &Post

(0)

0 XOt

70 e

c

· .

g

e(d 2 (0) 920)

- do

+

=

· ↓

Dimostrazione

(f'(0) f(0)cos0)

d'(0) l' (0)

P(0) seno

cos0 seno

= +

- , 990)Cos20

9 9 Oleao

1) Os

111 9 -

10c0020

8 Of seco

caso

= +

+

+ "0)

09(0028c000 (0)

+

=

INTEGRALI /

CURVILINEI DI LINEA

[a DR

b]

0 tratti

parametrimazione

: regolare a

,

0(a In(8)

b)

T il

Me supporto di 8

=

=

= ,

+R

L funzione

: continua

L'integrale f Pe

di della funzione

linea Du

(f(0(t)

(fds Il t

Il J'(t)

=

: (fdx

f (6)

allora

1

=

de =

filo pesante

Esempio massa

: densità

O descrive di variabile

lineare

filo

· un

f descrive densità

la filo

puntuale del

·

Sfos totale

la

roppresenta filo

del

massa

densità

la costantemente :

uguale

è

oss se

: = mf

ffds 110'(tlldt

m(18)(t)Ildt me

= =

M

Boricentro

Filo parametrizzazione

con

Ja 2

b] R densità

0 descritto

puntuale da

- o

: :

con

,

DR

f +

M

: - f

Detta del e s

totale filo

la

in massa =

m

R3

(XB

B (X EB)

YB) in B

= Y

= B B ,

,

, 1(bx(0(t)f(0(H)

# fds 110'(t) s

x =

x

=

B (by(0(t)f(0(H)

SY fos 110'(t)

=1 s

Y =

B

Boricentro costante

densità f=S

circonferenza omogenea con

y)R

(xc

c 0

>

= , -OR

Cπ]

[0

0 : com

,

(xc Roeut)

6(t Rcoot

= yc +

+ ,

massa =

Sfds S &MR

Gl-Roeut Rcortl =

,

↳

of

Baricentro 10(t)/

↑

2π

TeoSxGRdt

(xc Rcoot) SRolt

+ al

I x(0(t) * ecootSRd

d

I 2π)

(Exc8k 26 (24

R

- + xc

=

-

CRS

Analogamente Yc

= YB

per y =

B PIU'VARIABILI

FUNZIONI REALI DI

Studiare localis

minimi) (glaboli di

lo funzioni

colcolare massimi

e o

R

f RM

: -

A

M I - . . . . . . . . . . .

stube

M . . . . . . . . . . . *

R

-

f possibile

LINEE tracciare dominio

è nel

LIVELLO

DI :

per

: delle (chiuse)

funzione che

della roppresentano

curve

, in

l'insieme dei punti la funzione

cui m

assume

Keqispat

scelta

certa

K di

volore

certo volori

per ma .

R

f -R

ricordo l'insieme

è

: : {( ER

R2tr

)

Ef (f) f(

*, E I

* :

: = RM R

f(x)

esempi 0 7

= D

R R

f -

: -

· -

PF2 -

-

1x1

f(x) = x

· =

- -

-

f(x)

Grafico IxI ·

= y

Se taglio ottago

dei piani :

con y

YB IXII

f(1)

di

livello

linee di =

DX

0((x2)2

1x/12

f(x) =

· -

x2

f(x) = le di

line livello

ZA sono :

- A

-

-

-

-

- D

Dy

xy Non indica che

equisporiate cio

e

sono

la funzione sta crescendo più velocemente

lugo alle

direzione

la perpendicolare

linee RU

Def LIMITE SUCCESSIONE

UNA

DI IN

: /Xx) R

Data di di

punti

successione

, ER"

Si che

dice punto Xo

converge u

AK se

a

lie K-101) 0

=

K >D

-

lui =

K o

Def INTORNO SFERICO

: ER"

Dato di e R30

Chiamiamo APERTA

PALLA centro xo

10 ,

l'insieme { R)

-Re

Br(10) Ily yoll <

:

= - [ R)

Br(10)

La yoll

ER" Il >

PALLA CHIUSA 1

= : - -

Def Variabili/de

Più

LIMITE Tramite

reale

FUNZIONE

DI UNA di F

: .

SUCCESSIONI

=R DR

RW

04 14 x0)

Br((0)

f

Br(x0)

f =

a

: :

- -

RU

Le D limite

diciamo che il

è

+ O xo

-D

= per

-

,

di f denatiamo con

e f(x)

Cin L se

=

Lo

* D

- (k} 14 x0)

BR(10)

Per tole che

successione

ogni ,

La che

10 Di

-

Xk K N

>

- f(xk)

lin L

=

K N

>

-

Def "INTORNI"

PIÙ VARIABILI

LIMITE TRAMITE

REALE

FUNZIONE

DI DI

: E-S

CON =R DR

RW

04 14 x0)

Br((0)

f

Br(x0)

f =

a

: :

- -

R

i) Sia LE lin

che

Diciamo f(x) L se

=

. * P

-

FS ocla - (f(x)

↓ xoll8

tc LIS

E 0

>

> 0 -

=

se -

[ 0]

ii) (rispett-8)

f(x)

diciamo li

che

=

= se

D

=

1 > In

- K)

7670t K(rispett

f(x) f(x)

cocly yollcS

Vkx0 0 =

= =

- -

, .

.

Def CONTINUITA

: -**

CRO

f A Diciamo f

che è

EA in

continua

Lo xo

: se

, f(x0)

= f(x)

line =

- - 0 A CR

f in Lo

in fo A

è continua

continua E

· xo

se

Osservazione : g(x) dipende

y)

Sef(x dax

solo

-

=

,

f continua solo continua

è è

se

e

se g

Vole di Unicità

il teorema Limite

del

· Volgono somma/prodotto/quariente

di

limiti

teoremi ani

i

· lin(f(x g(x) Cin g(x)

f(x) lin NO + 0 0

+

+ = -

1 >

X *

- Io - X0

0

-

- (f(x g(x) lin

lin g(x)

f(x) lin NO 0

0

+

.

= .

- 1 >

X *

- Io - X0

0

-

- /

Volgano di

teoremi sona/prodotto/quoziente

continità di

i funzioni

di

composizione continue

K FO

denom

Teorema CONFRONTO

: BR(20) -R

fig 2 : oppure

, BR(10))(x0) #

-

- (20)

h(x)f

g(x)

f(x)

toli BR(10)

che => = - <

+ LERuf Ix)

f(x)

I lim lim2(x)

inoltre supponiamo =

= I Do

1 DX0 -

-

J 4xg(x)

allora L

line =

1

-

Teorema PERMANENZA SEGNO

DEL

: R

Br(10) DR

Sia f =

: - Ruf 0)

f(x)

I Le =

lim

supponiamo =

D Xo

X -

Allora : /10)

(0) 0(oco)

7910

(a Bp(20)

Exe

allora t f(x)

Se (0

il >

c

.

/10)

Se f0(00)

ii) Be (10)

in qualunque po

per

(00)

allora (0

Def LIMITE &

: a

R -DR

Sia f LERse

Si dice che f(x)

lim

.

· : =

1) Il P &

x - ai 2a(f(x)

↓ -LKE

t

7R 0 R

IIXII

E >

> 0 c

. con

x

.

,

[ =0] 0(

f(x) 0)Defk

liv

dice

= che

si +

· 0

>

= -

1) x Il - &

-R K(

f(x) K)

t (IxIl Rai2a

0 > >

c

. con

x -

.

TOPOLOGIA

.

ECR" ER"

Un dice

punto si

Lo

· By (xo) E

7 p &

t

od

-INTERNO E 0

>

: c

.

de . Bp(xd)n(R2 E) Fo

Bp(xdnEFp

Up

E

FRONTIERA sila /

e

o

de >

- per

: -interno

frontiera

O

...

L'insieme tutti frontiera E

di di

punti di detto BORDO

i viene

ECR" FX-E E

di

APERTO punto interno

: De

- R

E CR Ecoperto

CHIUSO

- se

:

Teorema

L'unione

i) di insiemi operto

operti è

L'unione

ii) chiuso

finiti insiemi chiusi

di è

L'interserzione

iii) isieni

di finiti operto

è

perti

o

L'intersezione

iv) di insiemi chiuso

chiusi è

Teorema CONTINUITA

CARATTERIZZAZIONE DELLA

: fa)

R -* VAR

f intervallo

è solo è

continua APERTO Aperto

: se se

e

Teorema TRAMITE SUCCESSIONE

Caratterizzazione del CHIUSI

:

CER" chiuso solo

è se e se

↓ (n) tole che

lim

meC

successione An =

allora LotC

ECR

Def EBp(a)

Jpt

dice LIMITATO

si c

de

: . .

Teorema WEIERSTRASS

:

IR" E-DR

E chiuso fi

limitato forunette

Allora

continua

.

e ;

int

massimo minimo

e f(xd

AtE f(x)

fan E

è punto di

Lo massimo de

per

DERIVABILITA PIU

CALCOLO VARIABILI

DIFFERENZIALE IN

R R Fissando

f

Def . i

-D 1

: =

: m

....,

f(y0ther) f(xd

#(20) Cin -

= L DO L

- poter 67 (10) funzione

colcolare

asservazione una

per per

: -xi

-

f bisogno

A (10)

A

che By

C'è olmeno polla

contenga

: una per

qualche >o of

In poter VIo EA-A

colcolare deve

particolare APERT

o

(10)

per essere

Jeffer

- h-po deve

derivata

A la A

contenuta

! in

essere

per

i

- tutto

l'intomo in

deve

operto

A insieme

- un

essere

- -

Def DERIVABILE

FUNZIONE

:

f A CR -R Si dice

Aoperto derivabile esistono

A

f

che è in E

: zo se

.

,

(10) Ni

FINI ...

Si dice f

GRADIENTE di il

in è vettore

xo

G

Yf(x0) A

, ....,

) (d)

=

Derivabilità Tangente

IperpiaNo

e

R-DR derivabile

f tangente

RICORDA allora grafico

la retta

in al di

:

: xo

fin e

Xo :

f'(x0)(x xd)

f(x) +

y = -

↓

m

-

:R

Per tangente

4 del

l'equazione grafico

al

piano

ovvero

, di f(x y) e

, y0)

y) ((x

>Vf(x0

f(x0 (x0

y0) y)

+<