Analisi 1 - 4-6 Calcolo differenziale

Calcolo Differenziale

Def

• f: (a,b) → ℝ
• x₀ ∈ ]a,b[

1. Δf/Δx = [f(x) + h - f(x)]/h
2. f'(x₀) = lim [x → x₀] (f(x) - f(x₀))/(x - x₀)

Se ∃ finito f'(x₀) ∈ ℝ diciamo che f è derivabile

Teorema del cambio di variabili:

1. h → x - x₀

Def. equivalente

• f: (a,b) → ℝ
• x₀ ∈ ]a,b[

1. Δf/Δh = [f(x₀ + h) - f(x₀)]/h
2. f'(x₀) = lim [h → 0] Δf/Δh = lim [h → 0] (f(x₀ + h) - f(x₀))/h

Significato Fisico di Derivata

f(t) = s(t) = spostamento punto materiale (P)

s derivabile in t₀ → s'(t₀) derivata di s → lim [t → t₀] (s(t) - s(t₀))/(t - t₀)

Significato Geometrico di Derivata

f: (a,b) → ℝ derivabile in x₀ ∈ ]a,b[

1. La retta y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) è tangente al grafico
2. f'(x₀) è il coefficiente angolare della retta tangente in

Definita come il limite della retta secante per P₀ e P₁

Rette secanti che passano per P₀ e P₁

Retta tangente

lim [h → 0] y = lim [h → 0] (f(x₀) + (f(x₀ + h) - f(x₀))(x-x₀)/h)

CARATTERIZZAZIONE DELLE DERIVATE

f: (a,b) → ℝ, x₀ ∈]a,b[

Dim lim h→0 = 0

f derivabile in x₀ ⟺ lim x→x₀ = f'(x₀) ∈ ℝ

OSS 1

OSS 2

CONSEGUENZA 1

possiamo rappresentare la retta tangente in P₀ (x₀, f(x₀)) commettendo un errore σ(x-x₀)

CONSEGUENZA 2

Dimostra che le funzioni derivabili sono continue

OSS 1

OSS 2

DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI

1. f(x) = c costante c ∈ ℝ
2. f(x) = x
3. f(x) = sin x/cos x
4. f(x) = a^x

   Dim ∀x : f’(x) = c

   Dim ∀x : f’(x) = 1

   Dim ∀x : lim = cos x

   Dim ∀x : lim = a^x log e a

5. f(x) = log x

PASSO 1

(a,b)→R continua e invertibile in (a,b) lim_y→y0(f⁻¹(y))=x₀ [sost. y=f(x)]

PASSO 2

lim_y→f(y0)(x)=x₀ f non è derivabile in y₀

ALCUNE D DEI FUNZIONI ELEMENTARI

• D(arcsin x) = 1 / √(1−x²)
• D(arccos x) = -1 / √(1−x²)
• D(arctan x) = 1 / (1+x²)
• D(setrch x) = 1 / √(1+x²)
• D(setrch x) = x / √(x²−1)
• D(setch x) = −x / √(1−x²)

APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

• MONOTONIA DI f
• MASSIMI E MINIMI DI f

Ora in poi M e M saranno "assoluti", poi distinguenti i quelli locali o relativi.

DEFINIZIONE DI PUNTO O MASSIMO MINIMO LOCALE O RELATIVO

Oate: f:_x→R un punto k ∈ x ₀ = {f(x) ₀} ∀k∈ x ∃U_k0 x∈x.

1. Minimo relativo se ∃U_k0 k∈x →f(x)^(x)k0
2. Minimo relativo stretto se ∃U_k0 f(x)=f(x)∀x∈U_k0x∈x⁰ x∈x
3. Massimo relativo se ∃U_k1
4. Massimio relativo stretto

STUDIO DELLA DERIVABILITÀ DI f

• Calcolando lim_x→x0 ^f(x)

ATTACCHI di f quando:

1. x₀ ∈ Dom f dove f è continua ma x₀ ∉ Dom f’
   • se ∃ lim_x→x0 ^f(x) e sono uguali e reali, f derivabile in x₀
   • se ∃ lim_x→x0 ^f(x) e sono diversi e tali, f non derivabile in x₀
2. x₀ ∈ R x₀ ∉ acc per Dom f, ma x₀ ∈ Dom f e c.d. ∃ lim_x→x0 ^f(x) ∈ R
   • (per avere grafico preciso di f, f’₊(x₀) = coeff. angolare tang. K_E)

DERIVATE SUCCESSIVE (derivate seconde/terze/…)

DEF

• f: [a, b[ → ℝ derivabile ∀ x ∈ ]a, b[, se per x₀ ∈ ]a, b[
• 1. f''(x₀) = (f')'(x₀) = lim_x→x0 ^{f'(x) - f'(x₀)} / _x-x0 ∈ ℝ e detta derivata seconda
• Per n ∈ ℕ con n>1
  1. f⁽ⁿ⁾ in [a, b[ pari a (f^(n-1))’ f se per x₀ ∈ ]a, b[
  2. f^(m)(x₀) = (f^(m-1))’(x₀) = lim_x→x0 ^{f(m-1)(x) - f(m-1)(x₀)}/ _x-x0 ∈ ℝ e detta derivata m-esima

OSS 1

f''(x₀) si scrive anche d²f(x)^{d2x, [f’(x)]’_x=x0, [f’(x)]'_x=x f", f(2)}

OSS 2

Se f in [a, b[

• f⁽ⁿ⁾ = (f^(n-1))’ ⇒ f^(n-1), f^(n-2), f’, f

sono continue in [a, b[

. e ([a, b[) = e ]a, b[ → f continua in ]a, b[

. ε ([a, b[) = f derivabili in ]a, b[ e f continua in ]a, b[

. ε⁽ⁿ⁾ ([a, b[) = f derivabile n volte in ]a, b[ f⁽⁰⁾ continua in ]a, b[

per ogni derivato continua tutte le f prima d’essa sono continue