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Calcolo differenziale

Definizione: (a, b) → ℝ

x0 ∈ ]a, b[

  1. Δf/Δx = (f(x) - f(x0))/(x - x0)
  2. Rapporto incrementale di f in x0
  3. f'(x) = lim (x → x0) (f(x) - f(x0))/(x - x0)
  4. Derivata di f in x0

Se ∃ il limite finito f'(x0) ∈ ℝ, diciamo che f è derivabile.

Modi per scrivere una derivata: f'(x0), df/dx|x0, D f(x0), D f(x)|x0

Teorema del cambio di variabili

  • { h = x - x0 }
  • { x = x0 + h }

Definizione equivalente: (a, b) → ℝ

x0 ∈ ]a, b[

  1. Δf/Δh = (f(x0 + h) - f(x0))/h
  2. Rapporto incrementale di f in x0
  3. f'(x0) = lim (h → 0) (f(x0 + h) - f(x0))/h
  4. Derivata di f in x0

Significato fisico di derivata

f(t) = s(t) = spostamento punto materiale (p)

s derivabile in t0.

s'(t0) derivata di s: lim (t → t0) (s(t) - s(t0))/(t - t0) = velocità istantanea di P in t0

Significato geometrico di derivata

f: (a, b) → ℝ derivabile in x0 ∈ ]a, b[

  1. La retta y = f(x0) + f'(x0)·(x - x0) è tangente al grafico in P0 = (x0, f(x0))
  2. f'(x0) è il coefficiente angolare della retta tangente in ⚫

Dimostrazione

Retta secante che passa per P0 = (x0, f(x0)) e per Ph = (x0 + h, f(x0 + h))

y - f(x0) = (f(x0 + h) - f(x0))/(x0 + h - x0) · (x - x0) = (f(x0 + h) - f(x0))/h · (x - x0)

Retta tangente lim (h → 0) y ... vedo anche per: f(x0 + h) = f(x0)

y = f(x0) + f'(x0) · (x - x0)

Calcolo differenziale: (a, b) → ℝ

  1. Δf/Δx = (f(x) - f(x0))/(x - x0)
  2. f'(x0) = lim x → x0 (Δf/Δx) = lim x → x0 (f(x) - f(x0))/(x - x0)

Se il limite è finito f'(x0) ∈ ℝ, diciamo che f è derivabile.

Definizione equivalente

  1. Δf/Δh = (f(x0 + h) - f(x0))/h
  2. f'(x0) = lim h → 0 (Δf/Δh) = lim h → 0 (f(x0 + h) - f(x0))/h

Significato fisico di derivata

f(t) = s(t) = spostamento punto materiale (p)

f deriva da s: lim t → t0 (f(t) - f(t0))/(t - t0)

Significato geometrico di derivata

f: (a, b) → ℝ derivabile in x0 ∈ [a, b]

  1. La retta y = f(x0) + f'(x0)(x - x0)
  2. f'(x0) è il coefficiente angolare della retta tangente

yP0 = f(x0) Ph = (x0 + h, f(x0 + h))

Caratterizzazione delle derivate

Le: (,)→ℝ, 0∈],[

  1. è derivabile in 0⇔ ∃0 ⊆ 0−,0+ ⊆ ⊂ V; ∀ ∈ 0'()=(0)+'(0)+→0 −0 ∃0 ⊆ 0−,0+ ⊆ ; ∀ ∈ ()=(0)+'(0)(−0)+ū→0 with (−0)

Dim ↔ derivabile in 0

3lim→0 ()−(0 )′(0 ) ∃ℝ

3lim→0 ()−(0 )′(0 )−0 ∃lim0→0 ()−(0)0−0 per def. di o-piccolo

fp(x)=()0−'()0−(x0-x00-y00>-−'(x0-−'(x0-x0)0+x0-FA0

Possiamo rappresentare la retta tangente in P0,00

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Hexapod_258 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Padova o del prof Motta Monica.
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