Riassunto Analisi 2

ANALISI 2

Serie di Funzioni

Dato avendo I:

N.B.

È un numero, dato m e x.

È serie numerica, dato x.

Dato una successione di funzioni

Se esiste I* ⊂ I tale che converge

∀ x ∈ I* allora converge puntualmente in I*.

L’I* si definisce come insieme di convergenza.

Posso quindi definire come somma delle Serie, nei valori di x in cui abbiano convergenza.

Data vera succ. di funzioni, dico che converge totalmente se: ∑ converge in tutti gli x.

Enunciato 1:

Data

1. Continua: Σ converge tot. ⇒ continua

2. Derivabili: Σ converge punt. ⇒ Σ conv. tot.

3. Continua su I.

Serie di Potenze

Essa può:

1. Conv. in x = x₀

2. Conv. in int.

3. R ∈ [0; +∞]

R, raggio di convergenza

Come lo calcolo:

1 - Radice

2 - Rapporto

N.B. controllo l’intervallo negli esami

Proprietà:

Data una s. di potenze di R > 0:

1. ∀x ∈ E(0,R) la serie conv.

2. È una funzione

Serie di Taylor – Maclaurin

Cond. nec. ma non suff. per sviluppa in S. di poni:

∃ con

Taylor con resto di Lagrange

SE LE DERIVATE SONO LIMITATE IN _{(x0-δ, x0+δ)} ALLORA IN I₀ POSSO SVILUPPARE.

SERIE DA RICORDARE

sen(x) = ∑ ^2m+1C₀ (-1)^m / (2m+1)!   cos(x) = ∑ ^2mC₀ (-1)^m / (2m)!

senh(x) e cosh(x), tolgo (-1)^m.

(1+x)^x = ∑ ^∞C_m (x^m / m!)

ln(1+x) = ∑ ^m+1C₀ (-1)^m / m

e^x = ∑ ^∞C_m=0 x^m / m!

FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI

INSIEME A LIVELLI L_C {x₁, x₂} ES P = P(x₁, x₂) = C

LIMITI IN UN VETTORE X OGNI COMPONENTE TENDE A OGNI COMPONENTE DEL VETTORE X₀

- TEO. DI UNICITÀ DEL LIMITE: ALGEBRO DEL LIMITE: f CONTINUA IN x₀ SE LIM_x→x0 f(x) = f(x₀)

- TEO. DI PERD. DEL SEGNO: SE f LIM f(x)≥L: => ∃ INTORNO A x₀ DOVE f>0

- SE f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ U_ε (L(x₀)) non L_ε f ha limite L per x→x₀:

=> L ≥ 0

- SE f è continua in x₀ e f(x₀) > 0 => ∃ Ɛ intorno a x₀ dove f > 0.

COORDINATE POLARI

{ x = ρ cos θ

{ ρ² = x² + y²

eg θ = ρ sen θ

N.B. SE HO SOLO uno dei cos l0 metto tra -π e π

COME MOSTRARE CHE LIM f: OSSERVO LIMITI SU 2 CURVE, CHE SONO DIVERSI.

COME MOSTRARE CHE LIM l: MI FACCIO UN'IDEA DEL VALORE DEL LIM, POI SOSTITUISCO C.P. A QUEL PUNTO STIMO CIÒ CHE OTTENGO CON QUALCOSA CHE NON DIPENDE DA €

DA CIÒ, SE FACCIO ⬦ _δ→10

INTERVALI APERTI E CHIUSI

3 PUNTI: DATO E ⊂ IRⁿ

x INTERNAL AD E SE ∃ U_R (x) ⊂ E

SE x È INT., Ɛ>0 Ɛ

x EXTERNAL AD E SE ∃ U_R (x) ⊂ C^E

SE x Є EST:: ∃ x C^E

x € i FRONTIER DI E SE OGNI INTORNO INTERSECHI SIA È CHE C^E

€ - £ APERTO SE TUTTI I SUOI PUNTI SONO INTERNI N.B. ∈ ∅ /∅ SONO SIA APERTI CHE CHIUSI

• CHIUSO SE, E_l È APERTO

DEF. V^499m INTORNO AD x∈ IRⁿ È UN QUALUNQUE INS. APERTO S.C. x∈A

PROP. A₁ A₂ APERTI ^→ A₁ X A₂, A₁ ∩A₂ APERTI. C₁ C₂ CHIUSI ^→ C₁∩C₂

CHIUƧ0 UNIONE OD E APERT0 INTERSEZIONE O CHIUSI ED CHIUSA.

• SIA λ A.5 CONTI【nua

{ Ɛ>0 ∃ δ

{ ∃ δ₂

{ ∃ δ₃

{ δ>0 ∃ < δ

SONO APERTI N.B. ₤

E POINTS INTORNO AD x

{ Ɛ>0

{ ∃ δ₃

SONO CHIUSI. FRONTIER E

CHＩUSURA E

{ E

{ U^∈

Funzioni a valori vettoriali

f: R^m → Rⁿ

Linee del campo: Curve che in ogni punto sono _tg al campo.

x' = λx', λ ∈ R¹ intero

∂/∂t su (α(t), t)

Pappus: (Continuità) Confrontare per confronto:

• del parziali, Jacobiana densa F₁, F₂ JF = (∂F₂/∂x, ∂F₂/∂y)
• Deg. F composta, g diff. in x₀ g (F) diff. in x₀
• g diff. in F(x₀) g(F(x₀)), diff. in x₀
• g∘g(f₃) g₁(x₀) = g(F(x₀)), JF(x₀)

{JF}( x₀)^-1

∫ g²(F(x₀) (JFϕ)^-1

• Differenziabilità - f aprendo x₀ ∈ A
• F_F e se: F(x): F(x₀) ↦ F(λx₀)+o(||x-x₀||).

- Se F è diff. V.x = 1...m

Campo di coord. Sono infinitive, C(A) JΦ ≠ 0 V x ∈ A

Coord. polari: Φ(s;θ) = (s ⋅ cos θ, s ⋅ sin θ)

Coord. cilindriche: x = s ⋅ cos θ, y = s ⋅ sin θ, z = z

Coord. sferiche: x = s ⋅ cos θ ⋅ sin ∈, y = s ⋅ cos θ ⋅ sin ∈, z = s ⋅ cos ∈.

Superfici parametrice

• È una funzione σ: A^2 ⊆ R² → R³
• Regolare: σ U A ∈ (x₀, y₀) se σ è diff.
• Se continue

• -rg( Jσ (u₀, v₀)〉 = 2 ≠ I.

definisce, U vet. normale:

dσ^u ⊓ dσ^v data σ(u; p)

M vers. normal = u/||u|| → o anche, sp implica x = x₀ y = y₀ z = z₀

Piani

π_pao = σ (u_i) T)

• σ (u₀, v₀)+dσ(u₀, v₀)(u-u₀) + dσ(u₀, v₀)(v-v₀)

Funzioni implicite

Dini

• B_C C ⊆ R^m e A'
• f ∈ C¹(A) se. f (x₀, y₀) = 0
• → y + (x₀, y₀) x₀ f _i
• => ᘗ intorno I di x₀, C è un'unico σ ∈ C¹(I) 0: C(x)_i = C(x₀) + o|y|, f_C
• e g(x): = dσ/dx_i (xⁱ) N.B. Se in C(x₀), V(A)f(x)_x0
• o: M segnali di Dniu e curo regioni e si può scambire come grafico
• N.B. Dinu ∈ R³→ a1₂x-y-x₀)

• δ₂: per ora f₂)

-ndy (u₁, C, F_i)(x₀, y₀)

→ -a_y, e

• → f_j) δx=fl(( u_I/b: M UNICA G ∈ C¹ C

• G(x₀)=y₀ e f_i (x_i, σ)

inoltre, δ x = F{C_x} (x, G(x)) = E X F(C_x, G(x) = 0

Πg da punto, z: g (x_i, C