Riassunto Analisi 2

Analisi 2

Serie di Funzioni

Σ_m=0^+∞ f_m

N.B. f_m(x) è un numero, dato x e m

Σ_m=0^+∞ f_m(x) è serie numerica, dato x

Dato avendo I : f_m : I → R,

Σ_m=0^+∞ f_m(x) tale che Σ_m=0^+∞ f_m(x) converge

Dato una successione di funzioni f_n : I → R

L_i*^I allora Σ f_n converge puntualmente in I*. L*^I si definisce come 'insieme di convergenza'.

Posso quindi definire f(x) := Σ f_n(x) come somma delle serie, nei valori di x in cui abbiamo converg.

Data una succ. di funzioni, dico che Σ f_n(x)

CONVERGE TOTALMENTE SE: Σ | f_n(x) | < ∞

in tutti gli x. Σ_m=0 converge.

1. f_n continue : Σ f_n conv. tot. ⇒ f(x) = Σ f_n è continua
2. f_n derivabili : Σ f_n conv. pnt. : Σ f_n conv. tot. ⇒ f(x) derivabile = f'(x) = Σ f_n'(x)
3. f_n continue su I : C₀ ⊆ C₁ ⊆ I = Σ f_n conv. tot. allora f(x) continua fᵟ(x integr.) su C₀ [x₀,x₁] < ε Σ f_n(x)

Serie di Potenze

Σ a_m (x - x₀)^m

COEFFICIENTE CENTRO

ESSA PUÒ: 1) Conv. in x = x₀

2) Conv. in int.

3) R ∈ (0;+∞], | - | = || - ||

SERIE CONV. PER | x - x₀ | < R

SERIE NON CONV. NE' | x - x₀ | > R

R_n raggio di convergenza

1) R ∈ ⟨ 0; 1) = ^1/ 10,

2) Altro R = 1 / ( n = 0, ∞ ) (decrescente)

COME LO CALCOLO : - ) N.B. SI UNO CONVERGE 2M

inf | 1 / " || f_n(1) || |[sup"]

- ) N.B. CONTROLLO INTERVALLO NEGLI ESTREMI

CHICCA CICCIONE

P. Funzionali

Data una s. di potenze di R>0.

1) ∀ x ∈ (0, R) ( s. serie c. tot. ) ⇒ ⟨ - 5, x₀ + 5 ⟩

2) La f(x) := a_m (x - x₀) è una funzione

3) R DEVO AGGIORNARE l

N.B. Nell'intervallo

Studio di serie (E.X. le 3 invi T)

CON TAYLOR con RESTO di LAGRANGE

f(x) : = P_m(x) + ^R(+ )^m+1 + x₀

CON C COMPRESO TRA x < x₀.

Per trovare resto cerco M : | f^m+1(C) | ≤ M₁

ANALISI 2

• SERIE DI FUNZIONI

  • N.B. fm(x) è un numero, dato m e x.
  • Σ_m=0^∞fm è serie numerica, dato x.

Dato avendo I : f_m:I →R

Dato una successione di funzioni f_m : I → R se esiste f : I → R tale che Σ_m=0^∞f_m(x) converge ∀ x ∈ I allora Σ_m=0^∞f_m converge puntualmente in I*.

Σ_m=0^∞ f_m converge uniformemente.

Posso quindi definire f(x) = Σ_m=0^∞ f_m(x) come somma delle serie, nei valori di x in cui abbiamo converg.

SEMPRE

DATA UNA SUCC. DI FUNZIONI DICO CHE Σ_m=0^∞f_m CONVERGE TOTALMENTE SE :

ENREATRETTI : DATA f_m : I → R

• f_m continua: Σ_m=0^∞f_m conv. tot. → f(x) = Σ_m=0^∞f_m è continua
• f_m derivabili: Σ_m=0^∞f_m conv. punt. → Σ_m=0^∞f_m conv. tot. → f(x) derivabile = f'_m(x) = Σ_m=0^∞f'_m(x)
• f_m continue su I : f_m→∞ I → Σ_m=0^∞f_m conv. tot. allora ƒ(x) continua = f_m continuo = ∫ S_m, da a a b S₀ + ∫ f_m(x) da a a b

SERIE DI POTENZE : Σ a_m(x-x₀)^m

• Coffsente lineare xi*eleggibile
• Essa può:1) Cov. in x=x₀2) Conv. in int.3) ∩ R → (0;=) | Ordine siaomial conv. per |x-x₀| < R4) Siabne conv. nel, prova |x-x₀|>R

R, RADIO DI CONVERGENZA

COME LO CALCO: .1 adster, lim_m→∞ .

N.B. Controllare inntervallo negli estremi (uomo è uso 

N.B. SE HO NPD utilizzare |x-x₀|