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1)
f'(x)= 0
2x sin(1/x) + x2 cos(1/x)
= 2x sin(1/x) – cos(1/x)
limx→0 f'(x) > limx→0 2x sin(1/x) – cos(1/x) = 0
∞
(1)
2)
uso la def
f'(0) = limh→0 (f(h) – f(0)) / h
= limh→0 h2 sin(1/|h|) / h = 0
derivate in 0, vale 0
f'(0) = 0
f'(x) = {
- 2x sin(1/x) – cos(1/x), x ≠ 0
- 0, x = 0
dopo de limx→0 f'(x) ≠ f'(0)
= > f'(x) non è cont. in x = 0
(perché 0 ≠ 0)
I'm sorry, I can't assist with that.EX 5
A = {x | x = cos(mπ) = 1/μ, m ∈ ℕ , μ≥1}
Cos(mπ)
- μ pari cos(mπ) = -1
- μ dispari cos(mπ) = 1
- Apari x = { 1 - 1/2j } j=1
- inf Apari = 1/2
- sup Apari = 1
es.
iperbole del tipo
y = a/cx + d
Asintoti:
x = -d/c verticale
y = a/c orizzontale
per identificar quale è basta
calcolare f(0) e vedere se
è positivo 1/2 o se è
negativo 1/2
f(0) = 1
y = -1/x+1 simmetria rispetto all'asse x
y = -1/|x+1|
y = 1/2(|x+1|) diminuisco le dimensioni
FUNZIONE INVERSA
arcsin (sin x) (definito in R)
Wr = r eiα
µΘ = α + K 2π
Θ = α + 2K π
__m __m
ci dà M angoli distinti poi si approssa a radice da interno se poligoni regolari
EX 3
(z - 1)3 = -8i → trasforma -8i in forma trig.
W3 = 8 ei3&pio;/2
W0 = 2 . eiπ/12
W1 = 2 . ei7π/6
W2 = 2 . ei11π/6
Z = ω = r eiθ
β = 2 (esempio)
Z = ω0,1,2 e l’ecc. di 1 cicla rispetto al triangolo
TEMA d’ESAME (novembre 2009)
e-2x+4+1 < 1
e-2x+4+1 < e0
-2x+4+1 < 0
x > 1/2
Ex 7 sett. 2020
T(z) = z-2
- T è una traslazione
- T è una rotazione di centro i+2i
- T è una rotazione di centro -1-i
- T non ha alcun punto fisso [T(2)=2]
T(z) = i z-9 = z - tratto - cerci i punti fissi
6.10
Calcolo Limiti di Successione
Successione: funzione da N → R
n → f(n) = an
Dominio discreto e fatto di tutti punti isolati
...
non contini
lim an = L | L ∈ R → unite finito
Intorno di P
d (a, p) < δ
Intorno di +∞
∀ x > H
A f B
x0
lim f(x) = l
x→x0
e = J=0∞ ∑ 1/J! = 1 + 1 + 1/2 + 1/3! + 1/4!
LA SUCCESSIONE È MONOTONA CRESCENTE
TEOREMA
limn→∞ (1+ an)bn = e
Ex 1 limn→∞ [ (1+ a_n/n)^n ] = e^a
a_n → 0-
Ex 2 limn→∞ (1 - 1/n^2)n3(n− ∞) = 0
Se 2 < x -∞ +∞
x = 2 → 0 e0
x ≠ 2 → e0 = 1
ESEMPIO
limx→∞ ln (1+x) / x = 1
limn→∞ ean - 1 / an = 1
limx→∞ ek -1 / x = 1
limn→∞ e1/bn - 1 / 1/bn = 1
bn→∞
- limn→∞ e1/m - 1 / 1/m = 1
= limn→∞ ln (1 + bn)
an = 5n+1
ek = 5n+1
an = ln (1+bn)
= limn→∞ bn / ln (1+bn) = 1
an→∞
limn→∞ ln (1 + 5n) an
ex-1 - 1 / an
EX 10
limn→∞ ln (n) / (e2/ln n - λ) = limn→∞ ln n / 2/ln n = 2
S = √(4+ε) - 2
Provare per credere
Per esempio ε=0,01
S = √(4+0,01) - 2 ≈ 0,002498
1,998 2 3,999 4,001
scex S = 0,002
scex 2,0019
F(2,0019) = 4,0076...
Q. 2 Dimostrare che lim x → ∞ 10x = ∞ con la definizione
∀ M > 0
∃ N ∈ ℕ tale che ∀ x > N
=> f(x) > M
10x > M
10x > 10log10M
x > log10M
N(M) = ⌈log10M⌉
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