Derivata e continuità
1) f'(x) = 0D [ x2 sin ( 1/x) ] = 2x sin ( 1/x) + x2 cos ( 1/x) ( -1/x2) == 2x sin ( 1/x) - cos ( 1/x)
limx→0 f'(x) > limx→0 2x sin ( 1/x) - cos ( 1/x) = ∞
Non è vero che non è deriv.!
2) Uso la def f(0) = limh→0 f(h) - f(0)/h == limh→0 h x sin ( 1/h)/h = 0
- Derivata in 0, vale 0 f'(0) = 0
- f'(x) = { 2x sin ( 1/x) - cos ( 1/x) x ≠ 0 0 x = 0 dopo che limx→0 f'(x) ≠ f'(0)→ 0 f'(x) non è cont. in x = 0 (perché x ≠ 0)
1) f'(x) = 0D(x2sin(1/x)) = 2x sin(1/x) + x2cos(1/x)(-1/x2) == 2x sin(1/x) - cos(1/x)
lim f'(x) > lim 2x sin(1/x) - cos(1/x) = ∞
x→∞ x→∞ non è vero che non è deriv.
2) uso se deriv f(x0+h) - f(x0)
f '(0) = lim f(n) - f(0) = n→∞ n = lim h2sin(1/h) = 0 h→0 h
- Derivata in 0, vale 0 f'(1) = 0
- f'(x) = ⎧2x sin(1/x) - cos(1/x) x ≠ 0 ⎨ ⎩ 0 x = 0
Dato che lim f(x) ≠ f'(0) x→0 = 0 f'(x) non è cont. in x = 0 (perché x ≠ 0)
Analisi 1
Introduzione A = { a, b, c }
Esempio 1: (a,1) (b,2) (c,3)
Teorema di distribuzione per esclusione
Ipotesi:
- A ∪ B ≠ ∅
- E B = C
Esempio 2: (a,1) (a,2) (b,2)
Conclusione: A ∩ B = ∅
Conclusione
Esempi verificati, teorema confermato.
Disequazioni e formule
x 2 −4x+3≥0
x1=1 x2=3
∆>0 α=1 β=3 (-∞,1]∪[3,+∞)
(1,3) (3,+∞) ∆>0 α=1 β=3
x=−b±√∆/2a
3a>0 x>4
|x|≤|a| −a≤x≤a
x2−x2≥0 (x−2) (x+1)≥0
x2−5x+4≥0 (a+b+c)=0 c0 [a−√∆/2a , a+√∆/2a]
Sol x201,2,3,4,5,6
x2−5x2+6=0
a=1 b=−5 x=2
I'm sorry, I can't assist with that.
Ex 6
A = { x | x = μ²⁄μ2+1 + (-1)n, μ ≥ 1, n ∈ N }
(-1)n
m pari +1
m dispari -1
M = 3
M = 2
Apari { x = x = 1 + 1⁄(2K)² }
Adispari { x = x = -1⁄(2K+1)² }
Ex 5
A = {x | x = cos(mπ) - 1/μ, m ∈ N, μ ≥ 1}
cos(mπ)
m pari: cos(mπ) = 1
m dispari: cos(mπ) = -1
A pari: x = {1 - 1/2j} j ≥ 1
inf A pari = 1/2
sup A pari = 1
A dispari x = 1 ∞ 1 1 j=0
2j+1 2j+1
Sup A dispari = -1
Sup A dispari = 1
Superiore prendo il + grande
Inferiore prendo il + piccolo
Basel
1 + 1 + 1 + 1 …. = ∑ 1 - Sn
j=1 j2 j3 j4
Inf-Sn = 1
Sup-Sn = π26
Rappresentazione di funzioni
Funzione periodica F(x) = F(x+T)∀ x ∈
T si chiama periodo
T è il minimo valore percepibile
es. y = sin x
es. y = cos (2x+1) T = ?
cos (2x+T+1) = cos (2 (x+T) + 1)
2x + 1 = 2 (x+T) + 1 + 2kπ
2x = 2x + 2T + 2kπ
-2T = 2kπ
T = -k πx̂
k=-1
T = π
k ∈ ℤ
es. y = sin (αx)
T = 2π/α
y = sin (3x)
T = 2π/3
Funzione inversa
f ∘ f-1 = identità (prima f-1, poi f)
f-1 ∘ f = identità
f iniettiva ⟹ f ha inverso (∃ f-1)
es. y = x2
y = x2 non è iniettiva, fino a quando non imponiamo x>0 e consideriamo soltanto un ramo della parabola
f-1: y = √x
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