Analisi 1 - 2-6 Funzioni elementari e numeri complessi

oss: 1) Molto spesso si usa f strett. cresc. o f strett. decresc. per dimostrare l'iniettiva

2) f iniettive non strett. monotone

strett. monotone ⇒ iniettive iniettive ≠ strett. monotone

bonus Quando risolviamo diseq. spesso usiamo f strett. monotone

es. 3/6x^2 - 5x < 2 ⇔ 3y < 5y ⇔ (f(y) < f(z)) se f strett. cresc.

3/6x^2 - 5x z 2 6x^2 - 5x ₂ 8

FUNZIONI ELEMENTARI

• FUNZIONI AFFINI (rette - {rette verticali})

y = f(x) = mx + q

m = 0

y = f costante

cresce e decresce contemporaneamente

m ≠ 0

q = 0 y = mx → f lineare

q ≠ 0 y = mx + g → f affine

x₁ < x₂ ⇒ mx₁ < mx₂ ⇒ mx₁ + q < mx₂ + q ⇒ f(x₁) < f(x₂)

m > 0 f strett. cresc.

m > 0 g = mx + q f strett. decresc.

Data f: A⊂ℝ→ℝ, x∈ℚ ha simmetria rispetto a 0 se

• f(x) = f(-x) PARI
• f(x) = -f(-x) DISPARI

Vede se f(x) ha dominio simmetrico rispetto all'origine

Basta studiare il grafico per x > 0

OSS: 1)

• Molto spesso si usa f strett. cresc. o f strett. decresc. per dimostrare l'iniettivit.
• f iniettive non strett. monote.

bonus Quando risolviamo diseq. spesso usiamo f strett. monoto.

es. 3/6x²-5x < 2 ⟺ y₁ < y₂ ⟺ f(y₁) < f(y₂) se f strett. cresc.

f(y)=y³ ⟺ g₁(x) < g₂(x) ⟺ f(g₁(x)) < f(g₂(x)) se f strett. cresc.

3/6x²-5x  _2   6x²-5x   _8

FUNZIONI ELEMENTARI

• FUNZIONI AFFINI (rette - {rette verticali})

y=ƒ(x)=mx+q    m=0

• y=ƒ costante
• cresc.e decresc. contemporaneamente

m≠0    gi=0   y=mx linear

g≠0    g=mx+q affine

x₁,x₂    x₁>x₂ ⟹ mx₁>mx₂ ⟹ mx₁+q > mx₂+q ⟹ ƒ(x₁)>ƒ(x₂)

m>0

x₁,x₂    x₁<x₂ ⟹ mx₁<mx₂ ⟹ mx₁+q < mx₂+q ⟹ ƒ(x₁)<ƒ(x₂)

m>0

m<0

m>0 f strett. cresc.

m<0 f strett. decresc.

• FUNZIONE POTENZA

y=ƒₐ(x)=xᵃ a∈ℝ, a≠0

Diversi casi: a∈ℕ / ∈ℤ   a∈ℚ \ a∈ℝ

y=ƒₙ(x)=xⁿ n∈ℕ, n≠0

per x>0 è strett. cresc.

• Pari: n pari xⁿ pari
• Dispari: n dispari xⁿ dispari

FUNZIONI PARI / DISPARI

Data ƒ: A⊂ℝ → ℝ, x ∈ X ha simmetria rispetto a O se

• ƒ(x)=[ƒ(x) PARI
• ƒ(x)=[-ƒ(x) DISPARI

Vede se ƒ(x) ha dominio simmetria rispetto all'origine

ƒₙ⁻¹(x)=ƒₙ⁻¹(x): |G₀+ ∞| - |G₀∓∞| TEOREMA DI E dalla radice n-esima

• Funzione inversa tale che y≥0 ∄ x≥0 y=x
• Definiamo x=y√3    G#
• y=x/y
• ƒₙ⁻¹ è definito come sup di un insieme

2

y = x^1/n = x^m/n n ∈ N, n ≠ 0

n. PARI D: R T

n. DISPARI D: R

y = x^1/2 = √x

3

y = x^-1/n = 1/x^m n ∈ N, n ≠ 0, x ≠ 0

D: x ≠ 0

↑ ∫₀ stretto cresc.

↓ ∫⁰ stretto decresc.

PARI

DISPARI

Definisco anche L'identico in

8

y = f_q(x) = x^q = x^m/n = x^m n√x^m0

q ∈ Q, q ≠ 0, m ∈ Z, n ∈ N, mn ≠ 0 e primi tra loro

m/n > 0 tipo y = x^m/n

se f. stret. monotona

con m/n = 3/2

allora vale x > a^m/n

a) m/n = 1 tipo y = x^m

b) 0 < m/n < 1 tipo y = x^m/n

c) m/n < 0 tipo y = x^-m/n = 1/x^m/n

Esempi y = x^3/2 pari   y = x^5/3 dispari

y = 1/(x) = x^-2 ∀a ∈ ℝ^*\{0}

Dominio:

• 1 o 2 o 0: ]0, +∞[, x > 0
• -2 o x\(4 o a\): ]0, +∞[, x > 0

1. |a| > 1 tipo y = x^a
2. 0 < a < 1 tipo y = x^-a
3. a < 0 tipo y = -a^-a = 1/x^a

Propriet