Analisi 1 - 2-6 Funzioni elementari e numeri complessi

OSS:

1) Molto spesso, si usano f strett. crec. o f strett. decresc. per dimostrare f iniettiva

2) f iniettive non strett. monotone

Bonus: Quando risolviamo diseg. spesso usiamo f strett. monotone

es.

3|6x²-5x| < 2 ↔ |x|<|y| ↔

f(y) ≤ f(x)

g(x) ↔ g(x)

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f(g(x)) ≤ f(g(x)) se f strett. crec.

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6x²-5x > 2

FUNZIONI ELEMENTARI

• FUNZIONI AFFINI

( rette - rette verticali )

f(x) = mx + q

m = 0

f costante

m ≥ 0

q = 0

somma f lineare

q ≠ 0

somma f affine

m >0

f strett. crec.

m <0

f strett. decre. sc.

f_m(x) = x^a, ∃a∈ℝ , a≠0

Diversi casi: a∈ℕ / a ∈ℤ

a∈ℂ a∈ℝ

• f_m(x) = xⁿ n∈ℕ a≠0

per x>0 è strett. crec.

- Pari / n pari ... - xⁿ pari

- Dispari / n dispari ... - xⁿ dispari

FUNZIONI PARI / DISPARI

Dati: f:∃c∈ℝrarr;ℝ, X⊆ℝ

ha simmetria rispetto a 0 se:

• f(x) = f(-x) PARI
• f(x) = - f(-x) DISPARI

Vedi se f(x) ha il dominio simmetria rispetto all'origine

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n dispari ... - x^-1 dispari

Basta studi...

f_n^-1(x) = f_n(x) / [0,+oo [ - [0,tol]

Funzione inversa tale che

per n∈ℕ

f n(x)= f_n(x)^-x^¼

per interver... devo restringere il domino

TEOREMA: ...E della radice n-esima

∀x >0

∃! x≥0 x≠ y

Definiamo...

x = ¼&subn; = n ⊃à

&sup01;ê definito come sup di un insieme

2

y = f_n(x) = x^1/n n ∈ N, n ≠ 0

• n PARI - D: IR+
• n DISPARI - D: IR

y = x^½ = √x

Funzione inversa di y = xⁿ

3

y = f_n(x) = 1/xⁿ = x^-n n ∈ N, n ≠ 0, x ≠ 0

D: x ≠ 0

f>=0 strett. cresc.

f