Numeri complessi analisi 1

Numeri Complessi C

Consideriamo l'equazione generale:

Se prendo un'equazione a coeff. N, le soluzioni non sono in N, es. come Z.

Definisco i² = -1.

Definizione:

Se prendo un polinomio in coeff. in R, le soluzioni non sono in R. Un esempio è:

x² = -1

Definiamo un oggetto (assente asserito) i :

C, i² = -1

unità immaginativa.

L’idea grafica è costruirsi un piano cartesiano:

In generale posso moltiplicare i per b ∈ ℝ, i·b con evidenza è che (ib)² = i²b² = b².

NUMERI COMPLESSI

Consideriamo l'equazione generale:

Se prendo un'equazione a coeff. , le soluzioni non sono in , essi come .

Definiamo _i² = -1.

Definiamo:

Se prendo un polinomio in coeff. in , le soluzioni non sono in . Un esempio è :

Definiamo un oggetto (costante astratta) ,t.c. _i² = -1parte immaginaria

L'idea grafica è costruire un piano cartesiano:

In generale posso moltiplicare _i per , _i·b con che (ib)² = i²b² = -b²

Se avessi fatto 0⋅i = 0. Questa è posso moltiplicarla con R, ma non migliorare.

Posso considerare uno sommo con un numero più sopra (multiplodi i)

a + i b

reale immaginario

Se z = x + i y

Prendendo y = 0 ⊂ .

Teorema fondamentale algebra.

Questo teorema mi dice che tutti i polinomi a coeff. in C

hanno soluzione in C.

Regole di calcolo:

z⋅w = (a + ib)(c + id) = a⋅c + i ad + ibc + i²db =

z w (alle numeri = a c + iad + ibc - bd =

complessi generali) = (a c - bd) + i (ad + bc)

messo in evidenza parte imm

z + w = (a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id =

= 2 + c + i (b + a)

Definiamo parte reale/immaginaria.

poi , Se z = 0 + ib, a prende il nome di

a = Re(z) parte reale di z

e b prende il nome di:

b = Im(z) parte immaginaria di z (è un reale)

elemento neutro

osserva che l'elemento neutro per 0

0 + xi o = 0 (a + ib)+0 +i 0 = a + ib

Osservare che ∃ elemento neutro per ⋅: 1

Inoltre,

La domanda, quando ho ℂ, esiste l'inverso?

1. ∃ inverso per + \( z = a + ib \) \( z' = -a - ib \) e se sommo viene 0
2. Inverso per il prodotto \({z}^{-1} t.c. z \cdot z^{-1}=1 \) Definizioni: dato z ∈ ℂ definisco coniugato di z, il numero dato \( \overline{z} = a - ib \) Definizioni: definisco inoltre modulo di z la quantità: \(|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}\)

Osservazioni: se \( z = a + ib\), \( \overline{z} = a - ib \)\( z \cdot \overline{z} = (a + ib) (a - ib) = \)\( a^{2} + b^{2} \) (positivo)

Oggetto ben definito

\( |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \)

Osservazioni:

z . _z = 1

z . _z

Poiché ho dimostrato che z ∈ ℂ,

z . _z = _z

è il modulo al quadrato

è l'inverso

Proprietà dei moduli

1. |z| ≥ 0 , |z| = 0 ⇔ z = 0 ∈ ℂ
2. ∀ z, w ∈ ℂ, |z . w| = |z| |w|
3. |z + w| ≤ |z| + |w|

Dimostrazione 1

Ovvia

Dimostrazione 2

z = a + ib

w = c + id

è equivalente a chiedersi se

|(a + ib)(c + id)| = |(a + ib)|²|c + id|²

dare quadrato ai nⁱ ⇒ i due num. sono positivi

è saputo che i due numeri sono positivi a priori

⇒ uguaglianza

Lato sinistro

• |ac + iad + ibc + i²bc|²
• |(ac - bd) + i(bc + ad)|² =
• = (ac - bd)² + (bc + ad)² =
• = ac² + bd² - 2abcd + (bc)² + (ad)² + 2abcd

Lato destro

• (a² + b²) (c² + d²) =
• = (ac)² + (bc)² + (ad)² + (bd)²

Dimostrazione 3

|z + w| ≤ |z| + |w| e^modalità ad orologio^

|z + w|² ≤ (|z| + |w|)²

(|z + w| imprac |z + w| perché è crescente e iritativa)

|a - c| + |b - d|² ≤ √(a² + b + √c² + d)²

(a - c)² + (b + d)² ≤ a² + b² + c² + d²

a² + x² + 2ac + b² + x² + c² + 4 + 2bd ≤ a² +x²... + 2√(a²) + √(cos)1 + (cx) 4(bd1)

2ac + 2bd ≤ 2√(a) + c² + (...c²)² + (bc) +(b...1)

|z) (a - c) + (b - a|) ≤ √(ac| 2 + ( ua))+ (bc)|( + (bc)a²

(a.c) + (x.bdf) ≤ 2(a,bc)a1)

O (a.c. + |bc|) ...no

ossia: 0 = (ac - bc)²

Numeri complessa di funsin ginonmetrosa

Piendo... Puntl en. Orf:

z = (cos θ + i sen θ)( cos 9 + i ven d) =

= [(cos - cos - feno ten a] + i ( pos)...

= (cos ( + σ)) + i sen (d) = w

Definizione: definisco un punto

e^iθ = cos(θ) + i·sen(θ)

con θ ∈ R

come conseguenza:

se n ∈ Z

(e^iθ)ⁿ = e^inθ

le due regole:

e^iθ · e^iδ = e^i(θ+δ)

(e^iθ)ⁿ = e^inθ

Altro modo per analizzare la questione.

Se prendo un punto posso fare anche così (oltre a pensare a proiezioni):

a + ib = re^iθ

=> r(cosθ + i·senθ)

=> a/r + i·b/r = cosθ + i·senθ

relazioni:

r = √(a² + b²)

tgθ = senθ/cosθ = b/r / a/r = b/a

dunque θ = arcctg(b/a)

se a + ib ∈ II o III quadrante, ossia se a ≤ 0

Altro modo per calcolare prodotto num complessi.

Se z = (a+ib), z ∈ e ulteriore calcolaccio zⁿ, mi esercito

z = re^iθ

r = √(a² + b²)

θ = arcctg(b/a) + π se a ≤ 0 (parte reale di z negativa)

Adesso

Analizziamo se

esempio (esercizio):

z²=1 → cerco soluzioni complesse

t±1

z³=1 → soluzioni reali per ora tutto fa t=1 t=1

z=reⁱ passo scrivere così

so questo al 3 passo t;

(reⁱ)³=1 e calcolo modulo

|(reⁱ)³| =

|reⁱ|³ = {|r|·|eⁱ|}³=r³

O_t geometrica

c 1

=> r³=1 = |r|=1

perché 0 a (r_R) cal R₀ (R)

Quindi

z=eⁱ

z³=1 → eⁱ⁰ = angoli e^i2/3

eⁱ =-1

e² =1 →e⁰

2m/3

30 =0 y2k t=0

r=1 e^{i( + 2k)} e⁰ ± ( + 2k)/3

e il c -4π

eⁱ² (angolo)

k ∈ {0, 1, 2}

0 (congruenza) congruenti m9 compresi tra 0 e 2π soluzioni

0 = 0 1 2

0_k = 0 + 2π/3

σ_k = 0 + 2πk/3 = 2/3 π

σ_k = 0 + 4π/3

σ_k = 4/3 π

|eiθ| = |cosθ + isinθ|

= cosθ + isinθ = 1

ripasso num compessi

piano complesso (di Gauss)

somma

prodotto

0 el. neutro somma

1 el. neutro

congiuro inverso

|z·v| = |z|·|v|

|z+v| ≤ |z| + |v|

con num C,

Se ho \( z=(a+ib) \), come calcolo \( z \) ?

(\( \text{con il binomio di Newton scompona complesso}\))

Portando ad angolo θ, prendo z e lo conosco ed diventa:

\( |z|=\sqrt{a^2+b^2}=r \)

Prendo un punto e lo chiamo:

\( \cos \theta \quad r \sin \theta = e^{i\theta} \)

(\(\text{corena con r elingquicio e por definizione}\))

\( z = r \cdot e^{i\theta} \)

\(\text{(pro)}\)

\( \text{lo molteplica e internale} \)

\( z=a+ib \quad (\text{o caloreta}) \)

se diviso:

\( \frac{a}{r} + i \frac{b}{r} = (\cos \theta + i \sin \theta ) \)

\( \frac{a}{r} = \cos \theta \)

\( \frac{b}{r} = \sin \theta \)

\( \text{perche se porta r non si muscarie con i} \)

\( \frac {\sin \theta = b/r}{\cos \theta} \)

\( \text{seg} \theta = \frac {b}{\frac{a}{r}} \)

\( \theta \,=\, \text{arc cotg} \left ( \frac{b}{a} \right ) \text{[2π]} \)

\(\text{e1 unica acqua gg in un campionetto \,] \, in} \)

\(\text{una volta che ho dato \(\text{[4]}\), \(\text{[2]}\) e laora se \( \theta \in (-\pi/2, \pi/2) \)}\)

\(\text{così era: ao (b=xooo, orezyo)}\)

se \( a