Numeri complessi analisi 1

NUMERI COMPLESSI C

Definizioni grafiche:

Se prendo un'equazione a coeff. ℕ, le soluzioni non sono in ℕ, es: come ℤ:

• x + 1 = 0
• x = -1

ℤ ℂ ℕ ℚ ℝ = C

Definizione di i:

Definiamo:

Se prendo un polinomio in coeff. in ℝ, le soluzioni non sono in ℝ. Un esempio è:

• x² = -1

Definiamo un oggetto (esponente astratto) it. c., i² = -1unità immaginaria.

L'idea grafica è costruirsi un piano cartesiano:

In generale posso moltiplicare i per b ∈ ℝ, i⋅b con evidenzache (ub)² = i²b² = -b²

Se ∃ tale 0.i = 0. Questa è Com(e) quoziente.Posso considerare uno come con un secondo più i per (i multiplo _{a + ib}parte immaginaria.

Se z = x + iyPrendendo y≠0 R ⊂ C.

Teorema fondamentale algebra.Questa esamina mi dice che tutti i polinomi a coeff. in Channo soluzione in ̅.

Regole di calcolo:_{z·w = (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i²·db =ac + i(ad + bc) - bd == (ac - bd + i(ad + bc))}

z + w = (a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id == a + c + i(b + d)

Definire parte reale, immaginaria.pe f. Se z = c + ib, a prende il nome dia = Re(z) parte reale di z

b prende síee nome di:b= Im(z) parte immaginaria di z ∃ un

elemento neutroassumo che 3 elemento neutro per ·0·i·b = 0 (a+ ib)(0 + i0) = a + ib

Potenza i, definisco un punto

e^iθ = cos(θ) + i·sen(θ)

con θ ∈ ℝ

ossia, come conseguenza:

se n ∈ ℤ

(e^iθ)ⁿ = e^inθ

le due spiegazioni:

• e^iθ e^iδ = e^i(θ+δ)
• (e^iθ)ⁿ = e^inθ

Metodo per analizzare la distanza.

a + ib = re^iθ

r = √(a² + b²)

tgθ = senθ/cosθ = b/r ÷ a/r = b/a

dunque θ = arctg(b/a) → in questo caso θ è unici in ]-π/2, π/2]

Altro modo per calcolare prodotto num complessi.

se z = (a+ib) ∈ ℂ angolo calcolare zⁿ, mi inserisco

z = re^iθ

r = √(a² + b²)

θ = arctg(b/a) + π se a ≤ 0 (parte reale di z negativa)

Radici complesse

Cerco n-esima radice complessa:

Def. (su circonfer. r=1, t=r)

• Se w è un num ℂ, chiamiamo radice n-esima di w, in ℕ, le soluzioni di zⁿ = w

Ricerchiamo n-esime radici complesse di w=1 con r precostituito.

Sia w ∈ ℂ: r=1, ⁿ∈_ℕ. Grazie alle soluzioni di zⁿ=w

Le soluzioni sono:

• z_k = r^1/n e^iϑ_k dove ϑ_k = ϑ + 2kπ/n

Dim.

zⁿ=w

Les, con ragionamento

|zⁿ|=1

Passo al modulo

Esso:

• |z|ⁿ = r
• Sia z = r e^iϑ, |z|ⁿ=ϑ implica |r|^1/n = r

Procedure:

• (r^1/n)ⁿ e^iϑn = x e^iϑ
• ϑ_k = ϑ + 2kπ, k∈ℤ
• ϑ_k = ϑ_k + 2kπ/n

Io fco che:

• A) Le soluzioni ϑ_k sono distante per k∈[0,1,...,n-1]
• B) Se x∈ℤ | 0 < 1 < n-1

Allora:

• α_k = ϑ/n + 2kπ/n è t.c. e_αk e_αk ϑ [k∈[0,...,n-1]]

Ora due formalizzazioni:

• e∈ℤ|α_l,...,n-1
• l = nm+m, con m∈ℕ-1Φ 1
• e k∈[0,1,...,n-1]