Analisi 1 - 1-6 Introduzione allo studio di funzione

LOGICA E INSIEMISTICA

• A/B/X/Y
• a/b/x/y
• ∅
• p/q/non p/non q

• ∃/∀/∃!
• ;
• →
• ←

∃x∈A: q(x) = q

Insiemi

Elementi

Insieme vuoto

Affermazioni (vere o false)

Per ogni

Esiste/Non esiste/Esiste unico

Sia/tale che

Implica (p vera → q vera)

Equivalenti (p vero se e solo se q vera)

negazione non p = ∃x∈A: non p(x)

negazione non q = ∀x∈A: non q(x)

• ELENCAZIONE A = {4,2,3} = {3,2,1}
• PREDICATI A = {4,2,3} = {n ∈ N: 0 < n < 3}
• GRAFICA A = {1,2,3} = 1 · 2 · 3 = 1 ∙ 2 ∙ 3

^AC _B INCLUSIONE sottoinsiemi propri: ䷀ e impropri A+B

A C B INCLUSIONE STRETTA (^Ĉ) sottoinsiemi propri

A ≡ B UGUAGLIANZA

N NATURALI 0,4,2, ..., n

Z INTERI 0, ±1, ±2, ..., ±n

Q RAZIONALI {q = ^m/_n, m ∈ ℤ, n ∈ N, n ≠ 0}

R REALI {m = d₁ d₂ d₃ ... d_n, m ∈ ℤ, d_n ∈ {0,...9}}

C COMPLESSI

IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

INSIEME DELLE PARTI

x + ∅

p(x) = {tutti i sottoinsiemi di x} x = {∅, x, A C x}

A = {1,2,3}

P(A) = {∅,{1},{2}, {3},{1,2},{1,3},{2,3}, A}

A − n elementi ⇒ |P(A)| = 2ⁿ elementi

Prodotto cartesiano di insiemi

A x B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

A = {1, 2}B = {3, 4}A x B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

{1, 2} ≠ {2, 3}

IR² = IR x IR corrispondenza biunivoca con i punti di una rettaIR³ = IR x IR x IR corrispondenza biunivoca con i punti dello spazio

Operazioni insiemistiche e proprietà

• Unione A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}

• Proprietà di indipendenza A ∪ A = A
• Proprietà commutativa A ∪ B = B ∪ A
• Proprietà associativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• Proprietà distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

• Differenza A - B = {x ∈ A : x ∉ B}
• Complementare A^c = X - A

Leggi di De Morgan

(∪_i=1ⁿ A_i)^c = ∩_i=1ⁿ A_i^c(∩_i=1ⁿ A_i)^c = ∪_i=1ⁿ A_i^c

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Dimostrazione diretta

p ⇒ qp condizione sufficiente per q

Dimostrazione indiretta

non p ⇒ non qse p ⇒ F, allora q ⇒ F

Dimostrazione per assurdo

p ∧ non q ⇒ assurdose q F con p ∨ ¬p ⇒ assurdo

Dimostrazione ∀n ∈ IN, n dispari = p

n² dispari = q

n = 3 n² = 9 Dispari n dispari = 2k + 1n pari = 2k

n² = (2k + 1)²= 4k² + 1 + 4k = 2(2k² + 2k) + 1 = 2h + 1h = (2k² + 2k) Dispari

PRINCIPIO DI INDUZIONE

1. Dimostro p(n₀) vero
2. Pongo p(n) vero
3. Dimostro p(n+1) vero => vero ∀n∈N

Esempio — FORMULA DI BERNOULLI

∀x≥-1 (1+x)ⁿ≥(1+nx) ∀n≥N

Dim 1 n=0 (1+x)⁰≥(1+0) 1=1 ✓

2 p(n) vero

3 p(n+1) (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ (1+ n k + x₁) <=> (1+x)(1+ x₁) ≥ (1+nx)(1+nx)

(1+x)(1+nx) = 1 + (n+1)x

Quindi, verificato che (1+x)ⁿ≥(1+nx)

I CAMPI

x definire gli insiemi come INSIEMI NUMERICI (definiti da ⁺⁺ e ⁻)

Q e IR => campi totalmente ordinati

CAMPO Quando per un insieme sono definite le operazioni a, b, c... con le seguenti proprietà:

∀a, b, c ∈ X

• a + b = b + a p. commutativa
• (a+b)+c = a+(b+c) p. associativa
• 0 < elemento neutro elemento neutro
• (-a) + a = 0 opposto
• a.b = b.a p. commutativa
• (a.b).c = a.(b.c) p. associativa
• 1 < elemento neutro elemento neutro
• a. (1/a) = 1 reciproco
• a(b+c) = a.b + a.c p. distributiva

• IN e Z non sono campi.
• Proprietà minimali per tutte le proprietà delle equazioni

FUNZIONE INIETTIVA

f(x) = y, f: X → Y f(x) ∈ X

• ∀x₁, x₂ ∈ X x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)
• ∀x₁, x₂ ∈ X f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂
• ∀x₁, x₂, x₃ ∈ X (f∘g) ∅ oppure contiene un unico x ∈ X

FUNZIONE INVERTIBILE

Def

se f(x) è iniettiva f: X → Y ∀y ∈ f(x) esiste una ed una sola X ∈ X tale che y = f(x)

• f: f⁻¹(x) → X
• x = f⁻¹(y)

inversa di f(x) ⟺

1. f(f⁻¹(x)) = x ∀x ∈ X
2. f(f⁻¹(y)) = y ∀y ∈ f(x)

Esempio: f(x) = √x - 1 g(x) = x² + 1

g = f⁻¹

1. g(f(x)) = ( √(x - 1) )² + 1 - x - 1 ∀x > 1
2. f(g(x)) = x² + x - 1 dom g = ℝ - non ℝ⁺

quindi g ≠ f⁻¹ perché il dom di g ≠ dal codom. di f

se dom g fosse ℝ⁺ allora g sarebbe f⁻¹

FUNZIONE BIUNIVOCA

• con f: X → Y f è suriettiva se f(x) = Y
• con f(x) iniettiva e suriettiva f(x) biunivoca
• f: X → Y fotografia

FUNZIONE COMPOSTA

(composizione di funzioni)

f: X → Y g: Y → W

• g ∘ f x → x → W
• g ∘ f = g(f(x)) ∀ x ∈ X

composizione di g con f

g composto f