Analisi 1

Proprietà delle funzioni:

Iniettiva: Se .

Suriettiva: Ogni elemento di è immagine di almeno un elemento di .

Biettiva: Iniettiva e suriettiva.

Limiti di funzioni:

Definizione: se, per ogni , esiste tale che .

Limiti destro e sinistro: e .

Limite infinito: : cresce arbitrariamente grande.

Teoremi sui limiti:

Unicità del limite.

Algebra dei limiti (somma, prodotto, quoziente).

Teorema del confronto: Se e , allora .

3. Derivate

Definizione:

La derivata di in un punto è:

Interpretazioni:

Geometrica: Pendenza della retta tangente al grafico.

Fisica: Velocità istantanea.

Proprietà:

Linearità: .

Prodotto: .

Quoziente: .

Derivata composta: .

Teoremi principali:

Rolle: Se continua in e derivabile in , con , allora esiste tale che .

Lagrange: Esiste tale che .

Cauchy: Generalizza il teorema di Lagrange.

4. Integrali

Integrale definito:

con partizione .

Proprietà:

Linearità: .

Additività: .

Integrale indefinito:

Una funzione tale che .

Teorema fondamentale del calcolo:

.

.

5. Serie Numeriche

Definizione:

Una serie è una somma infinita di termini:

Convergenza:

Una serie converge se la successione delle somme parziali converge.

Criteri di convergenza:

Criterio del confronto: Se e converge, allora converge.

Criterio del rapporto (di D’Alembert): converge.

Criterio della radice: converge.

Serie notevoli:

Serie geometrica: per .

Serie armonica: diverge.