Introduzione alla matematica (Analisi 1)

N| N|

1.21 {n ∈ ≤

di 3} , C = 1 n & n multiplo di 4}. Allora

N|

∩

A C =

∩

A B =

\

A C =

∪

B C = {x ∈ −1 ≤ ≤ {x ∈ −1)

Siano A = x 2}, B = < x < 2} , C = [−2,

R| R|−2

1.22 Allora

\

A B =

∪

C B =

∩

A C =

Capitolo 2

Cenni di geometria euclidea

Non è certamente possibile esporre in questo capitolo tutti gli aspetti della geo-

metria legati ad un impostazione assiomatica, con le conseguenti dimostrazioni.

Ci limitiamo a esporre alcune definizioni di enti geometrici fondamentali, alcune

proprietà rilevanti, e alcuni teoremi (senza dimostrazione), oltre a qualche formula

utile.

Iniziamo dalla “definizione” degli enti geometrici fondamentali. Quelle che daremo Enti primitivi:

punto, retta,

non sono vere definizioni, ma ci rifaremo al concetto intuitivo che ciascuno di noi piano

ha di tali enti. Il punto è un ente geometrico che non ha né forma né dimensione;

la retta può essere ingenuamemte immaginata come la linea che si ottiene prolun-

gando nei due sensi un filo ben teso; il concetto di piano è associato all’idea di una

superficie ben levigata e assolutamente priva di curvatura.

Per ogni punto del piano passano infinite rette; dati due punti distinti, esiste ed è Retta passante

per uno e due

unica la retta che passa per entrambi. punti

Due rette nel piano possono essere Posizione

reciproca di

Incidenti se hanno un solo punto in comune; due rette nel

Parallele non coincidenti se non hanno punti in comune; piano

(Parallele) Coincidenti se hanno tutti i loro punti in comune.

Consideriamo una retta r e fissiamo su di essa un verso di percorrenza e un punto Semiretta

O. In questo modo, si individuano due sottoinsiemi di r: quello dei punti che

precedono O e quello dei punti che seguono O. Ciascuno dei due sottoinsiemi è

detto semiretta di origine O. 13

14 Capitolo 2

Dati due punti distinti A e B appartenenti a una stessa retta r, diciamo segmento

Segmento AB il sottoinsieme di r costituito da A, B, e da tutti i punti compresi fra A e

B. I punti A e B sono detti estremi del segmento, ogni altro suo punto è detto

punto interno, i punti che non appartengono al segmento sono detti punti esterni.

Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estremo in comune, si dicono

adiacenti due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta

C

Un sottoinsieme della retta o del piano si dice convesso se per ogni coppia di

Insieme

convesso C C.

punti A, B di tutto il segmento che congiunge A con B è contenuto in

Chiameremo angolo ciascuna delle quattro parti in cui resta suddiviso un piano da

Angoli due rette non parallele. Per individuare in maniera univoca una di queste quattro

parti, possiamo prima orientare le due rette, poi stabilire quale è la “prima” retta

e quale è la “seconda” retta.

Allora chiameremo angolo individuato dalla coppia ordinata di semirette orientate

(r, s), aventi l’origine in comune, la parte di piano che viene “spazzata” dalla

semiretta positiva della prima retta ruotando intorno all’origine in senso antiorario

per sovrapporsi alla seconda.

Chiameremo “vertice” dell’angolo il punto in comune alle due semirette e “lati”

dell’angolo le due semirette.

Questa definizione lascia alquanto a desiderare quanto a rigore perché fa ricorso a

termini, che pur facendo parte del bagaglio intuitivo dello studente, sono piuttosto

delicati a definirsi. Tuttavia è sufficientemente comprensibile dallo studente ed è

coerente con quanto può essere fatto rigorosamente.

Notare una grossa ambiguità quando le due semirette coincidono! Qual è l’angolo

individuato in questo caso? L’insieme costituito dai punti delle semirette o tutto

il piano?

In questo caso, per evitare complicazioni formali, diremo esplicitamente quale dei

due insiemi ci interessa.

Chiameremo l’angolo costituito solo dai punti di due semirette orien-

angolo nullo

tate e coincidenti, chiameremo l’angolo costituito da tutto il piano. Nel

angolo giro

caso dell’angolo giro è pur sempre necessario specificare il vertice ed i lati. Chia-

meremo l’angolo i cui lati stanno l’uno sul prolungamento dell’al-

angolo piatto

tro. Chiameremo l’angolo individuato da due semirette perpendico-

angolo retto

lari. Due angoli di sicono se hanno per somma un angolo piatto e

supplementari

se hanno per somma un angolo retto.

complementari 15

Geometria euclidea ′

Dati due angoli A e A cosa vuol dire Confronto fra

angoli

che sono “uguali” o che uno è “minore”

dell’altro? L’usare brutalmente l’inclu-

sione insiemistica non è sufficiente perché

può accadere, ad esempio, che due ango-

li “intuitivamente” uguali non coincidano

insiemisticamente (vedi figura 2.1). Pri- Figura 2.1: Confronto fra angoli

ma di confrontare insiemisticamente due

angoli occorre fare una operazione semplice dal punto di vista intuitivo ma com-

plicata dal punto di vista formale: occorre “spostare” il secondo angolo senza

“deformarlo” in modo che i due vertici coincidano e che le semirette che costituis-

cono il primo lato coincidano. Una tale operazione è quello che viene chiamato

′

“spostamento rigido”. A questo punto due angoli A ed A , aventi il vertice ed il

′

primo lato in comune, sono uguali se A = A insiemisticamente, A è minore od

′ ′

⊂

uguale ad A se A A .

Nasce naturalmente il problema della misura degli angoli. Lo studio approfondito Misura degli

angoli: radiante

della problematica della misura esula dagli scopi di questo corso. Occorre definire

la somma di due angoli, il multiplo intero di un angolo, il multiplo razionale di

un angolo, il multiplo reale di un angolo. A questo punto basta fissare un angolo

come unità di misura, per avere una misura completa degli angoli. Chiameremo

“radiante” quell’angolo α tale che 2πα è uguale all’angolo giro.

Dando questa definizione, sono state nascoste delle grosse difficoltà, non ultima

la definizione di π. Il procedimento standard per definire la misura degli angoli

consiste nel considerare l’intersezione dell’angolo con un cerchio di centro il vertice

dell’angolo e di raggio 1, quindi prendere come misura in “radianti” dell’angolo la

misura dell’arco intersezione della circonferenza, che costituisce il bordo del cerchio,

con l’angolo. Questa definizione richiede di saper “misurare” la lunghezza di un

arco di circonferenza. Ciò può essere fatto con una definizione ad hoc che sorvola

sulle difficoltà intrinseche della definizione di lunghezza di un arco di curva. Notare

che, qualunque definizione si sia data, in un settore circolare il cui angolo al centro

misura un radiante l’arco di circonferenza che lo delimita ha misura pari al raggio.

La misura dell’angolo giro è per definizione 2π, la misura dell’angolo piatto vale π,

la misura di un angolo retto vale π/2. Un angolo che misura meno di π/2 è detto

se misura più di π/2 è detto

acuto, ottuso.

Due rette incidenti sono dette perpendicolari se formano quattro angoli retti. La Rette

perpendicolari

perpendicolare condotta ad una retta data da un punto qualsiasi del piano esiste

ed è unica. Rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele fra loro.

16 Capitolo 2

Si dice distanza di un punto P da una retta r la lunghezza del segmento di

Distanza di un

punto da una perpendicolare condotto da P a r.

retta Si dice bisettrice di un angolo la semiretta, avente origine nel vertice dell’angolo

Bisettrice di un

angolo stesso, che lo divide in due parti uguali. La bisettrice è l’insieme di tutti e soli i

punti del piano che sono equidistanti dai lati dell’angolo.

In geometria euclidea, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

Il postulato

delle parallele Data una retta r e un punto P non appartenente ad essa, esiste ed è unica la retta

espresso in tre parallela ad r e passante per P .

modi

equivalenti La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Due rette tagliate da una trasversale sono parallele se e sole se formano angoli

alterni interni uguali fra loro. a b

Due trasversali a e b che incontrano tre

Teorema di A B

Talete 1 1

rette parallele r , r , r rispettivamente r

1 2 3 1 A B

in A , A , A e B , B , B determina- 2 2

r

1 2 3 1 2 3 2

no quattro segmenti A A , A A , e B B ,

1 2 2 3 1 2 B

A

B B , tali che 3

3

r

2 3 3

A A A A

1 2 2 3

= . Figura 2.2: Teorema di Talete.

B B B B

1 2 2 3

Si dice triangolo la parte di piano racchiusa da tre segmenti, che congiungono a

Triangolo due a due tre punti non allineati. Un triangolo si dice se ha almeno due

isoscele

lati uguali, se ha i tre lati uguali, se i lati hanno tutti lunghezza

equilatero scaleno

diversa. Un triangolo avente tutti gli angoli acuti è detto se ha un

acutangolo,

angolo ottuso e due acuti è detto se ha un angolo retto e due acuti è

ottusangolo,

detto In un triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto sono

rettangolo.

detti cateti, il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa

Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due ed è maggiore della

Disuguaglianza

triangolare loro differenza. Affinché tre segmenti possano essere lati di un triangolo è necessario

e sufficiente che ciascuno di essi sia minore della somma degli altri due.

Si dice angolo esterno di un triangolo ogni

Teorema

dell’angolo β

angolo adiacente ad un angolo interno. In

esterno un triangolo ogni angolo esterno è la som-

ma dei due angoli interni non adiacenti.

−

Nell’esempio in figura, γ = π δ = α + β. γ

α δ

Figura 2.3: Teorema dell’angolo

esterno. 17

Geometria euclidea

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa ha area pari alla Teorema di

Pitagora

somma delle aree costruite sui cateti. Detta a la lunghezza dell’ipotenusa e b, c le

2 2 2

lunghezzedei cateti, si ha quindi che a = b + c .

18 Capitolo 2

Si definisce circonferenza di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano che

Circonferenza hanno distanza da O pari ad r. I segmenti che uniscono il centro O con i punti

della circonferenza sono detti raggi. La lunghezza di una circonferenza di raggio r

è uguale a 2πr.

Si definisce cerchio di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano che hanno

Cerchio distanza da O minore od uguale ad r. α