Algebra degli schemi a blocchi

Algebra degli schemi a blocchi

FT discreta

Y(s) = G(s) . X^*(s)_{campionato (modulo dell'impulso)}

Risulta che Y^*(s) = [G(s) . X^*(s)]

Risulta che Y(s) = 1/T Σ_h=-∞&supin; X(s-jhω_s) . X^*(s-jhω_s) PERIODICA → posto fuori dalla sommatoria

Per cui Y(s) = G(s) . X^*(s)

Ma vale Y^*(s) = Y(z)|_z=e^sT allora Y(z) = G(z) . X(z)

Calcolando Z^-1[Y(z)] = y(k) = Σ_i=0supin; g(i) . x(k-i)

Cioè G(s) agisce solo negli istanti di campionamento.

OSS. Se x(t) non viene campionato l'ingresso risulta che poiché X(s) non è periodica non si può portare fuori la sommatoria dunque G₁(s) · X(s)^*

Riassumendo e Y^*(s) = G₁(s) · X₁(s) ⇒ Y(z) = G₁(z) · X(z)

Se Y^*(s) = [G₁(s) · X(s)]^* ⇒ Y(z) = Z {G₁(s) · X(s)} = GX(z)

Ricordando che GX(z) ⇒ G(z) · X(z)

In definitiva Y^*(s) = [G₁(s) · X(s)]^* = G^*(s) · X^*(s) ⇒ che è la versione discretizzata della funzione di trasferimento

FT discrete e continue

X(t) X^*(t) G₁(s) X₁(t) X^*₂(s) G₂(s) Y(t) Y^*(t)

G₁ influenza G₂ solo negli istanti di campionamento, voglio trovare il legame tra ingresso e uscita

X₁(s) = G₁(s) · X^*(s) ⇒ X₂(s) = G₁(s) · X^*(s)

Y(s) = G₂(s) · X₁(s) ⇒ Y^*(s) = G₂(s) · X^*(1)(s)

⇒ Y^*(s) = G₁(s) · G₂(s) · X^*(s) ⇒ Y(z) = G₁(z) · G₂(z) · X(z) = G(z) · X(z)

X(t) X^*(t) G₁(s) X₁(t) G₂(s) Y(t) y^*(t)

Se non ci fosse il campionatore X(t) X^*(t) G₁(s) X₁(t) G₂(s) Y(t) y^*(t) t

X₁(s) = G₁(s) · X^*(s) ⇒ X₂(s) = G₁(s) · X^*(s) NON MI SERVE!

Y(s) = G₂(s) · X₁(s) ⇒ Y₂(s) = G₂(s) · X^*(s)

Quindi Y^*(s) = [G₁(s) · G₂(s)]^* · X^*(s)

Y^*(s) = 1/T * Σ_n=-∞^∞ G₁(s-jω_x) · G₂(s-jω_x) = [G₁(s) · G₂(s)]^* · X^*(s)

E(s) = R(s) - G₂(s)Y(s)

E(s) = R(s) - G₂(s)G₄(s)E^*(s)

Y(s) = G₁(s)E^*(s)

Y(s) = G₁(s)G₄(s)E^*(s)

Y^*(s) = E^*(s)

E(z) = R(z) - G₄(z)E(z)

Y(z) = G₄(z)E(z)

E(z) = R(z) - G₄(z)E(z)

E(z) =

R(z) =

Y(z) = ¹/_{1 + G4(z)} 1 R(z)

Y(z) = ^{G₁(z)G₂(z)}/_{1 + G1(z)G2(z)}R(z)

G₁(z)G₂(z) =

CASO 5: 2 campionatori + 3 blocchi

E(s) = R(s) - G₂(s)G₃(s)E^*(s)

E^*(s) = R(s) - G₂(s)G₃(s)E^*(s)

Y(s) = G₁(s) E^*(s)

Y(s) = G₁(s)G₃(s)E^*(s)

E^*(s) = G₄(s)E^*(s)

Y(z) = G₁(z)G₂(z)E(z)

E(z) = R(z) - G₂G₃(z)G₁(z)E(z)

Y(z) = ^{G₁(z)G₄(z)}/_{1 + G1(z)G2G3(z)}R(z) = G₀(z)

CASO 6

E₁(s) = G₄(s)[R(s) - G₂(s)G₃(s)E^*(s)]

E₁ = G₄(s)R(s) - G₁(s)R(s)G₂(s)G₁(s)E^*(s)

Y(s) = G₂(s)E^*(s)