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Algebra lineare
- distanza (P, O) = √x2 + y2 + z2
- distanza tra due punti (P, Q) = √(xQ - xP)2 + (yQ - yP)2 + (zQ - zP)2 = d (P, Q)
a x + b y + c z + d = 0
(a, b, c) ≠ 0 almeno uno ≠ 0
R x x + R y y + R z z + k (c t z + k d = 0)
x = P0 + t (P1 - P0)
P1 - P0 = (a, b, c)
X = P0 + t v
- Una retta è composta da un punto e un vettore
- Prodotto scalare: <U, N> = U1N1 + U2N2 + U3N3 = |U| |N| cos α
Equazioni dei piani che passano per la retta:
a x + b y + c z + d = 0
xpiana r x x + β y + γ z + δ = 0
x invari per r hanno equazione x(a x + b y + c z + d) + λ N (u x + .. δ) = 0
X e N non sono entrambi nulli.
x = β t + b y -
x = β z + t v -
- Rette sghembe: mai sono nello stesso piano.
Euclide
- Per tre punti non allineati, passa un piano e uno solo.
- Per due punti passa una e una sola retta.
Detta spiegazione:
Due piani si intersecano in una retta
OP = t OV
x = pαtα
x = qβtβ + w0, parallelo a r e s
w0, parallelo a r e s
pror x = pαtα + w0 = spazio versante per r
pros x = qβtβ + w0 = spazio versante per s
PROIEZIONE ORTOGONALE SU UN PIANO
- Si prende un punto nello spazio e si stante una sola retta perpendicolare al piano
P è l'intersezione con π della retta perpendicolare a π
proπ (v1 + v2) = proπ (v1) + proπ (v2)
proπ (αv) = α proπ (v)
- proπ rispetta la somma e la moltiplicazione
a)
a+bt+c=0
(-b-c, b, c)
<(x-7)(y-8)(z-9), (-b-c, b, c)> = 0
b)
Vettore l (1, 1, 1)
Piano | vettore
(-b-c, b, c)
<(x-7)(b+c) + (y-8)b + (z-9)c, (-b-c, b, c)> = 0
-xb + xc + yb - zb + zc > = 9c - 9c=0
-x(b+c) + yb - a² + 2x² + zc
e)
Dato il piano e il punto
π: x+y+3z=2
P (1, 1, 1)
Trovare la retta per P e il piano
P0(E, 0, b, c)
(1-1) + λ (2, 1, 3)
→(1+λ, -1+λ, 1+3λ, 3c)
f)
Data la retta
(1+E, -1+E, 1+3E)
Trovare equazioni che la definiscono
(x-n) + (y+n) = 0
(x-n) + (y-n) = 0
1+E = 0
x = 1
3x+1≥0
(1-n, 1) + λ(1, 1, 3)
(x-1) + λ(1, 1, 3)≥0
Sistema di equazioni
2.26: di primi passanti per N°
- Etica due equazioni di piani
la metablica per x, la seconda per y.
E1
- (–3, 1, 2)
- y-t
- 2, 2-t, 7
- 2z=3t+2z
λ(x+2) + 7
- (3x, 1, 2) = 0
SISTEMI LINEARI DI P EQUAZIONI IN P INCROVITE
di numeri reali:
- e3–3t
- X
- Y=7
- 1, 5
- –3
Piano per P(1, 1, 1) parallelo 3x + 4y + 5z = 1
3 x 1 + 4y 1 + 5z = d
d = 12
retta passante per P(1, 1, 1) e non interseca il piano 3x + 4y + 5z = 1
P(1, 1, 0)
3(x+1) + 4(y-1) + 5z = 0
retta passante per il piano 3x + 4y + 5z = 12
({3x+4y+5z=12})
altro metodo
({x+y+z=0, 3x+4y+1.5z=0})
z = -2x
(3/8)
{{(-x - 2)/3}}
{{3x - 3 = -2(3x+5z=12}}
{x = -4z}
{y + z = 0}
3x+4y+5z=12
A x = B
dove A è una matrice con p righe e q colonne
x = x1xq e B = B1Bp
A x = x1 A1 + ... + xq Aq
C ∈ ℝp
ℝp = A1C1 A1 + ... + Cq Aq
A = ℝq → ℝp
ᐅm A = {f ∈ ℝp | f è combinazione lineare delle colonne di A}
Il sistema A x = B è sostenibile ⇔ B ∈ ᐅm A
C = cqcq G1 + G2 = (c11 + c12)(cq1 - cq2)
C ∈ ℝp
x ∈ ℝ
ψC - ψC(x) =
A = (gn A1 + Ct Am + ... ) + ψ(x) Ac
eq retta per A(1, 0, 2) e B(3, -1, 0)
(x)y(z) = (1)y+(-λ)(z) = (0)-λ/2(1)
x = 1 - 2ty = tz = 2 + 2t
x = 1 - 2sy = sz = 2 + 2s
no t = (x) = λ + s - λ
esercizio
A(1, 0, 2)B(-1, 3, 2)C(2, 2, -1)
AB = (0)-3(0) - (λAB)AC = (0)2(-2) - (λAC)
(x)(y)(z) = (0)5(0) - (x)y(z) = (1)
{x = 1 + 2s - ts = (x - λ)/2z = 2 + 3t
z = (5/6)(y + 3s - (x)/2)x + 3s - (x + λ)/2
{λ = -((λ) = x (x + 3s + z - 3)/7)/2
z = 23 - 6 - 9/7 - 5 - 1
Controlliamo
dim V=n
insieme di n vettori rami rotti disgiunti
1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0
TEOREMA DEL COMPLETAMENTO
Esistono k esploratori di Vspazio razionale
W1, Wk indipendenti
∃ n-k restori della base che insieme a W1, Wk formano unabase di V
retoproposti
DIMOSTRAZIONE
per induzione su k
k=1
W≠0
W∅= a1v1 + ... + anvm
egli a1,...,am non sono tutte nulle
Posso supporre ai≠0
W[---]= (v1-v2 -vn)[a1]
Ilpacale [v1v2 -vm]
Lo spazio · (v1,v2,vn) comprende [v1v2 -vm]
→
- SPAN: È un sottospazio vettoriale di V
(V1, V2, ..., Vn) ∈ V ⊂ ℜ
Esempio: se V1 ≠ 0 è un vettore di IR allora L(V1) contiene tutti i multipli λV1 (con λ ∈ ℜ) → si tratta quindi della retta passante per l'origine di direzione V1.
DATO DATI
(x − k y + z z ≥ z 1
x − z k z z = k y
z x − z y k k k 3) z = z k y 7
( 1 1 1k +) 1
[1 − k z][z − z − k z][x k 7 k + 1](1 − k z
k − 7 z − 2 = k + 1
(x = 1 + k k + 1 − z k + 1 k + 1
φ = x − 1 + (
x = − y + 1 k x
z − 1 k
1 + k x
−1
7 z = − k + 1
y | = − k x
f g
d ≠ 1 4 inc.
una sola soluzione
SISTEMA LINEARE
Le sue soluzioni V^ rendono tutte e sole una particolare...
DATA L V* = P
∀ V LV = P
∃ U LU = 0
V = V* + μU
LVE L((V^+U)) = ZL V^ + U6
| P
- per quali a Є IR le equazioni
(ax + yz + 3ω + zω = a
x + ax + 3ω + zω = a-2
x + y + z + zω = aω = aω-1
- determinano una retta?
3° → 1°
1 1 1 z aω-1
1 a 3c z aω+1
a 1 3 ω aω
z^2 - p^2 = 0
5p^2 - 4p^2 = p^2
30 p + 2ω - 3z = 9
1 1 1 z aω-1
0 a-1 3z-1 0 2
0 0 zλ^2 - ω z 2zλ - ω - z^2
DISCUSSIONE
d = 1
1 1 1 z 0
0 1 3z 1 0
0 0 4 1 3
INF. SOLUZIONI
1 punto
x + 7 zω = -1
-u = -4 ω u = 3
z = 1
x + x = -3
z = 1
ω = 1
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