Algebra Lineare

DEFINIZIONE DI DIPENDENZA LINEARE

Siano x e y i vettori di uno stesso spazio vettoriale, se:

è possibile scrivere y = αx per almeno un valore α ∈ R allora x è lin. dipendente da y. Altrimenti si parla di indipendenza lineare.

COS'È UNO SPAZIO VETTORIALE?

È una struttura algebrica composta da:

• un campo, i cui elementi sono detti scalari
• un insieme, i cui elementi sono detti vettori
• in cui sono definite due operazioni:
  • somma
  • moltiplicazione scalare

DEFINIZIONE DI INSIEME DELLE PARTI

L'insieme delle parti di un insieme A, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A. Esso si indica con 𝒫(A).

DEFINIZIONE DI ENDOMORFISMO

Un endomorfismo di una struttura algebrica, ad esempio uno spazio lineare o vettoriale, è una funzione della struttura algebrica in se stessa.

DEFINIZIONE DI RANGO

Esistono diverse definizioni di campo:

• il numero di pivot di una soluzione a scalare
• il massimo numero di colonne lin. indipendenti
• il massimo numero di righe lin. indipendenti
• la dimensione del sottospazio di ℝ^m generato dalle colonne di una matrice
• la dimensione del sottospazio di ℝ^m generato dalle righe di una matrice

Definizione di dipendenza lineare

Siano x e y due vettori di uno stesso spazio vettoriale, se è possibile scrivere y = aX per almeno un valore a ∈ R allora X è lin. dipendente da y.

Altrimenti si parla di indipendenza lineare

Cos'è uno spazio lineare o vettoriale?

• è una struttura algebrica composta da:
• un campo, i cui elementi sono detti scalari
• un insieme, i cui elementi sono detti vettori
• in cui sono definite due operazioni:
• somma
• moltiplicazione scalare

Definizione di insieme delle parti

l'insieme delle parti di un insieme A, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A. Esso indica con P(A)

Definizione di endomorfismo

un endomorfismo di una struttura algebrica, ad esempio uno spazio lineare o vettoriale, è una funzionedella struttura algebrica in se stessa.

Definizione di rango

• esistono diverse definizioni di campo;
• il numero di pivot di una colonna a scalare
• il massimo numero di colonne lin. indipendenti
• il massimo numero di righe lin. indipendenti
• la dimensione del sottospazio di R^m generato dalle colonne di una matrice
• la dimensione del sottospazio di R^m generato dalle righe di una matrice

DIFFERENZA TRA ZERO ED ELEMENTO NEUTRO

lo zero è l'elemento neutro della somma, mentre ad esempio il numero 1 è l'elemento neutro del prodotto. Fissiamo quindi definire l'elemento neutro come quell'elemento che non modifica un'operazione, va esso posto al sinistra o destra.

COS'È UNA COMBINAZIONE LINEARE?

una combinazione lineare è un'espressione del tipo:

λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + ... + λ_m v_m oppure ∑_i=1^m λ_i x_i

dove λ₁, ..., λ_m sono gli scalari dello spazio vettoriale, e invece v₁, ..., v_n i vettori, o elementi dello spazio vettoriale.

COS'È UN PRODOTTO CARTESIANO?

è l'insieme delle coppie ordinate (a, b)

A x B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}

COS'È UNA BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE?

è un sistema di generatori linearmente indipendenti con il quale possiamo descrivere tutti i vettori dello spazio vettoriale mediante combinazioni lineari.

COS'È UN GENERATORE O INSIEME DI GENERATORI

sono un insieme di vettori linearmente indipendenti tale per cui è possibile esprimere ogni vettore di un certo spazio vettoriale tramite le loro combinazioni.

DEFINIZIONE DI COMBINAZIONE

dati m e k valori interi positivi si definisce combinazione di m elementi presi a k alla volta ogni sottoinsieme di k elementi estratti da un insieme di m elementi.

m! / [k! (m-k)!]

DEFINIZIONE DI PERMUTAZIONE

una permutazione è una funzione biunivoca f : X → X, ed è un modo di ordinare in successione oggetti simili. come ad esempio le parole di un anagramma.

m! / (m-k)!

DIFFERENZA TRA SOTTOINSIEMI (PROPRIO, IMPROPRIO)

Preso un insieme A, un sottoinsieme proprio di A

è un insieme che contiene parte degli elementi di A.

Mentre un sottoinsieme improprio di A è un insieme

che può essere o vuoto o coincide con A.

METODO DI ELIMINAZIONE DI GAUSS

Rappresenta un metodo utilizzato per la risoluzione di

un sistema di m equazioni in n incognite e si basa

sull’osservazione che, se la matrice del sistema è