Algebra riassunto

GRUPPI

GRUPPO (G,*),

f :GXG →G , a , b → a∗b

( )

• ASSOCIATIVA

a∗b b∗c a , b Є G

( )∗c=a∗( )

• ELEMENTO NEUTRO

∊ G t . c . e∗a=a∗e=a

∃e

• ELEMENTO INVERSO

∊ ∊

G∃ b G t . c .a∗b=b∗a=e

∀a a∗b=b∗a ¿

• Se è COMMUTATIVA ( è ABELIANO

−1 −1 −1

a∗b

( ) =b ∗a

N.B.: ∊

H a , b H

⊆G

SOTTOGRUPPO: se H sottogruppo rispetto all'operazione * in G, sse dati si ha

−1 ∊

a∗b H . ∣

{ }

n ∊ ∊

a>¿ a n Z , a ,×)

¿ (G

SOTTOGRUPPO GENERATO: se , a è generatore di G perché

∊ m n m+ n

, n Z ∊

∀m a × a e m+ n Z

=a

si ha . ⊲

H G

SOTTOGRUPPO NORMALE H di (G, *) ovvero sse

−1 ∊ ∊ ∊

a∗h∗a H , G ,h H

∀a

N.B.: se G è abeliano ogni sottogruppo è normale.

∊ ∊

r z Z r è il resto della divisione di z per n r∨q Z

∣

{

́ = ¿=nq+

CLASSE DI RESTO: . Due numeri

a,b appartengono alla stessa classe di resto se a/n e b/n danno lo stesso resto r.

LATERALI DI (G,*): Ogni sottogruppo H di gruppo (G;*) definisce una relazione di equivalenza su G

∊

a b a−b H

se

La classe di equivalenza di un elemento a rispetto

∊ ∊

a x G x a h∗a x H

∣ ∣

{ {

́ = ¿= ¿=Ha

si chiama laterale destro di G modulo H con rappresentante a

L'insieme di tutti i laterali destri si indica con

G

[ ]

H :G =¿ ∨¿

H G ,∗¿

¿

TEOREMA DI LAGRANGE: dati allora:

¿

G H H

∣ ∣ ∣ ∣

= ∗[G: ]

Dim: 1

G ,∗¿ G/ H

¿

GRUPPO QUOZIENTE: allora t.c.

⊲

H ¿

́ ́

a b= a∗b

́ ∗ ∊G ⟹ ∊

e a a e sse a H

́ =H ́ =́

È gruppo con elemento neutro ; .

G ,∗¿

¿

Dati è:

¿ f a∗b a ° f b

( )=f ( ) ( )

• OMOMORFISMO:

• ISOMORFISMO: Se è omomorfismo biiettivo.

G

G ,∗¿ ↦

V :G → , a a

́

N.B.: se , l'applicazione è omomorfismo suriettivo con nucleo

⊲

H H

¿

Ker V =H . G ,∗¿

¿

TEOREMA DI FATTORIZZAZIONE: ¿

G G

( )

́ ́

' ' '

⟶

Allora esiste un omomorfismo f : G t.c.G v f G e G f G è commutativo

H H

→ → →

́ ́ ́

⟹ Kerf f , f f e f f v

( )=ℑ ( )

=Ker ℑ = ∘

Dim: '

⟶

f : G G omomorfismo di gruppi .

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'OMOMORFISMO:

G

́ '

⟶

Allora esiste un omomorfismo f : G

Kerf

t.c. G

( ) ́ ' '

Gv f G e G f G è commutativo

Kerf

→ → → 2

G

particolare Imf

¿ ≅

Kerf

Dim:

GRUPPI CICLICI a>¿

¿

∊G

a

ORDINE DI UN ELEMENTO: l'ordine di un elemento è ord a

( )=¿

k l

a ≠ a per ogni k ≠ lallora ord a

( )=∞

• Se k l m

a per qualchek ≠ l allora ord a dove m è il minimo intero positivot.c. a

( )=m

=a =e.

• Se

Dim: n

a =e

∊

GRUPPO CICLICO: se (G,*) è gruppo finito di ordine n e a G allora . Un gruppo G si dice

∊ Gt.c. G=¿ a>.

∃a

ciclico se

G G Z ; G ,G n Z .

∣ ∣ ∣ ∣

=∞, ≅ =n ≅

Se se invece Z ,+¿ ∊C

n a ≠ 0

∊

H=x C nZ

=1∨x

Considero l'insieme . È isomorfo a perché ogni può essere

¿

riscritto come 2 Πk 2 Π

n

n n

z z α , α= con k … , n e α 0=0=2 Π=α

∣ ∣

= (cosα +isen ) =0,1, =

0 n

n n

Z ,+¿

nZ

Perciò H è gruppo ciclico di ordine n, ed è quindi isomorfo a .

¿

N.B. Se G è gruppo e |G|=p primo, allora G è ciclico. Inoltre ogni gruppo ciclico è abeliano.

⟹ ⟹

G p primo G ciclico G Abeliano

∣ ∣

= G Z G Z Z

G

∣ ∣

,° ≃ ≃ /n

=∞

(G )

Se è un gruppo e allora , altrimenti .

GRUPPI SIMMETRICI G , °

( )

(S )

TEOREMA DI CAILEY: Ogni gruppo G è isomorfo a un sottogruppo (esiste quindi un

G ,∗¿

¿

omomorfismo iniettivo )

i:¿

Dim: 3

∊

n Z

PERMUTAZIONI: Consideriamo il gruppo simmetrico di un insieme finito A={1, ... ,n} con .

S A)

=S(

Il gruppo è detto gruppo simmetrico su n e i suoi elementi sono detti permutazioni

n

∣ ∣

S !

=n

n V 12 34 , 13 24 , 14 23 ,id

=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N.B. Gruppo di Klein → .

Z

G t.c.G

∣ ∣ G≅ V

=4 ≅

Ogni gruppo G → oppure .

4 Z r

Σ dove r è il numero delle inversioni.

( )=(−1 )

ϑ

SEGNO DELLA PERMUTAZIONE:

n!

⊲

A S ∣ ∣

A =

N.B.: Si ha e

n n n 2

Dim:

Riguarda l'esercizio 4 foglio 1

INSIEME DI PERMUTAZIONI PARI:

⟶ ⟼

Σ: S , σ σ

{ }

+1,−1 (ϑ)

n A

è un omomorfismo di gruppi con nucleo , l'insieme delle permutazioni pari.

n S

CICLI DISGIUNTI: due cicli si dicono disgiunti se operano su sottoinsiemi disgiunti di , ovvero

n

σ 12 345

( ) ( ))

∗σ =σ ∗σ (esempio

1 2 2 1

Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti e di trasposizioni.

TEOREMA: Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti (univocam. determinati a meno dell'ordine) ed

è prodotto di trasposizioni ∑ ∊

detA σ Sn

=

N.B. Data la matrice A si ha . Per n=3,

nxn

detA a a a a a a a a a

=a =a + +a REGOLA DI SARUS

1 σ 2 σ 3 σ 11 22 33 12 23 31 13 21 32

(1) (2) (3) 4

GRUPPI RISOLUBILI G ,∗¿

¿

SOTTOGRUPPO GENERATO: , allora

¿ −1

∊ ∊ ∊

A a … .. a N , a A oppure a A

¿ >¿ ∨n

1 n i i −1 −1

[ ]

∊

a , b G , a , b =a∗b∗a ∗b

SOTTOGRUPPO COMMUTATORE: per . Allora il sottogruppo

[ ]

a , b

generato dagli è detto sottogruppo commutatore:

∣

∊ ∊ ∊G

∣ {

{ } [ ] [ ]

[ ]

K G a , b a , b G a , b …∗ a , b n N , a , b

( )=¿ >¿ ∗ ¿

1 1 n n

N.B.:

1. G è abeliano se e solo se K(G) ={e}.

−1 −1

[ ]

a , b sseab=ba

=a∗b∗a ∗b =e

( ) '

f :G →G ' f

f G K

( )

(K ) ⊂ (G )

2. Per ogni omomorfismo di gruppi si ha . Se è suriettiva allora

K G ')

( )

( ) =K (G . a 1

¿

]

f b , f a , f b

( ( ) ( )

(¿) ∗…∗[f ]

( )

1 n n

( ) ( )

−1 −1 ( )

[ ] [ ]

[ ]

f a , b a b a b a , b a , b

( )∗f ( )∗f

=f ∗f =f ∗…∗ =¿

1 1 n n

⊲

K G G.

( )

3.

4. K(G) è il più piccolo sottogruppo normale N di G tale che G/N sia abeliano.

́ ́ −1

[ ]

a b= b∗́

a sse a , b a∗b b∗a

=( )( )

(́ ∗ )

1 2 i i−1

⟹ ⟹

K K K G K K G

( ) ( )

(G)=K (G) (G)=K ( ) (G)= (K )

5. ⟹

K G e G Abeliano

{ }

( )= N i−1

⟹ ⊲

K G e catena e ≤ N ≤ … N ≤ N tale che N N e abeliano

{ } { }

( )= ∃una =N =G

n n−1 1 0 i i−1 N i

,°

(G )

GRUPPO RISOLUBILE: Sono equivalenti i seguenti enunciati per :

n

N t.c. K G e

{ }

( )

∃n ∈ =

1) ; N i−1

⊲

catena e ≤ … N ≤ N tale che N N e abeliano

{ }

∃una =N =G

2) n 1 0 i i−1 N i

Allora questo gruppo è risolubile. G

⟸ ⊲

ogni H ≤ Grisolubile Grisolubile risolubile con N G

⇔ N

ANELLI

ANELLO: (R, +, ∙), R≠⍉ e con due operazioni

∙: R → R

+, 5

• (R, +) abeliano con elemento neutro 0 R;

• (R, ∙) gode della proprietà associativa e possiede elemento neutro 1 R

• LEGGI DISTRIBUTIVE

a+b c=ac

( ) +bc

a b+c ac

( ) =ab+

Se (R, ∙) gode della proprietà commutativa, allora l'anello è commutativo

LEMMA:

• ∊ ∊ -1

a R invertibile se b R t.c. ab=ba=1 . b è univocamente determinato e si indica a .

∃ R

¿

∊

1 R , e R R

⊂ {0 ¿

• R* insieme degli invertibili, R R

DOMINIO: (R; +; ∙) si dice dominio (di integrità) se R* è commutativo e non possiede divisori di zero,

∊

a , b R ab=0

{0 ¿

ovvero se non esistono elementi t.c. .

R R

¿ R

R {0 ¿

=R {0 ¿

CAMPO: (R; +; ∙) si dice campo se R* è commutativo e , in altre parole, se ( , ∙) è

R

R

abeliano.

SOTTOANELLO (SOTTOCAMPO): (R; +; ∙), S R, S sottoanello (sottocampo) se S anello (campo)

⊂

rispetto alle operazioni in R.

• ∊ ∊ ∊

Se R anello, S sottoanello sse (S, +) ≤ (R, +), 1 S e xy S x, y S.

∀

R

• Se R campo, S sottocampo sse (S, +) ≤ (R, +) e (S \ {0 }, ∙) ≤ (R\ {0 }, ∙).

R R

Ogni campo è un dominio

⇒

Vedi 6.4 (5,6)

N.B. Se R è dominio allora

[ ]

R x è dominio

• ; ∊ [ ]

deg fg f deg g per f , g R x

( )=deg ( )+ ( )

• ;

¿ ¿

R x]

=R[

• ; n m

∑ ∑

i i

∊ n m

[ ]

f , g R x , f a x e g= b y

{0¿ = a b ≠ 0

Infatti se allora il coefficiente direttivo di fg è .

i i

i=0 i=0

Inoltre se ⟹

fg=1 deg f deg g 1

( )+ ( )=deg ( ) =0

[ ] [ ]

R x R x ¿

∊

f g f g=b a b a b R

( )=deg ( )=0

⇒deg ⇒ =a =1 ⇒

0 0 0 0 R 0 0

¿ ¿ ⟹ [ ]

R x] R dominio R x è dominio

=R[ ⇐

⇓ ∊ [ ]

deg fg f deg g per f , g R x

( )=deg ( )+ ( )

IDEALI

IDEALE: (R, +, ∙) anello. Allora I⊂R è ideale se:

∊ ∊

a+b I a , b I

∀

1) ;

∊ ∊ ∊

ra=ar I per a I , r R

2) . 6

Se I≠R, I IDEALE