Algebra riassunto

= G Z G Z Z

G

∣ ∣

,° ≃ ≃ /n

=∞

(G )

Se è un gruppo e allora , altrimenti .

GRUPPI SIMMETRICI G , °

( )

(S )

TEOREMA DI CAILEY: Ogni gruppo G è isomorfo a un sottogruppo (esiste quindi un

G ,∗¿

¿

omomorfismo iniettivo )

i:¿

Dim: 3

∊

n Z

PERMUTAZIONI: Consideriamo il gruppo simmetrico di un insieme finito A={1, ... ,n} con .

S A)

=S(

Il gruppo è detto gruppo simmetrico su n e i suoi elementi sono detti permutazioni

n

∣ ∣

S !

=n

n V 12 34 , 13 24 , 14 23 ,id

=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

N.B. Gruppo di Klein → .

Z

G t.c.G

∣ ∣ G≅ V

=4 ≅

Ogni gruppo G → oppure .

4 Z r

Σ dove r è il numero delle inversioni.

( )=(−1 )

ϑ

SEGNO DELLA PERMUTAZIONE:

n!

⊲

A S ∣ ∣

A =

N.B.: Si ha e

n n n 2

Dim:

Riguarda l'esercizio 4 foglio 1

INSIEME DI PERMUTAZIONI PARI:

⟶ ⟼

Σ: S , σ σ

{ }

+1,−1 (ϑ)

n A

è un omomorfismo di gruppi con nucleo , l'insieme delle permutazioni pari.

n S

CICLI DISGIUNTI: due cicli si dicono disgiunti se operano su sottoinsiemi disgiunti di , ovvero

n

σ 12 345

( ) ( ))

∗σ =σ ∗σ (esempio

1 2 2 1

Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti e di trasposizioni.

TEOREMA: Ogni permutazione è prodotto di cicli disgiunti (univocam. determinati a meno dell'ordine) ed

è prodotto di trasposizioni ∑ ∊

detA σ Sn

=

N.B. Data la matrice A si ha . Per n=3,

nxn

detA a a a a a a a a a

=a =a + +a REGOLA DI SARUS

1 σ 2 σ 3 σ 11 22 33 12 23 31 13 21 32

(1) (2) (3) 4

GRUPPI RISOLUBILI G ,∗¿

¿

SOTTOGRUPPO GENERATO: , allora

¿ −1

∊ ∊ ∊

A a … .. a N , a A oppure a A

¿ >¿ ∨n

1 n i i −1 −1

[ ]

∊

a , b G , a , b =a∗b∗a ∗b

SOTTOGRUPPO COMMUTATORE: per . Allora il sottogruppo

[ ]

a , b

generato dagli è detto sottogruppo commutatore:

∣

∊ ∊ ∊G

∣ {

{ } [ ] [ ]

[ ]

K G a , b a , b G a , b …∗ a , b n N , a , b

( )=¿ >¿ ∗ ¿

1 1 n n

N.B.:

1. G è abeliano se e solo se K(G) ={e}.

−1 −1

[ ]

a , b sseab=ba

=a∗b∗a ∗b =e

( ) '

f :G →G ' f

f G K

( )

(K ) ⊂ (G )

2. Per ogni omomorfismo di gruppi si ha . Se è suriettiva allora

K G ')

( )

( ) =K (G . a 1

¿

]

f b , f a , f b

( ( ) ( )

(¿) ∗…∗[f ]

( )

1 n n

( ) ( )

−1 −1 ( )

[ ] [ ]

[ ]

f a , b a b a b a , b a , b

( )∗f ( )∗f

=f ∗f =f ∗…∗ =¿

1 1 n n

⊲

K G G.

( )

3.

4. K(G) è il più piccolo sottogruppo normale N di G tale che G/N sia abeliano.

́ ́ −1

[ ]

a b= b∗́

a sse a , b a∗b b∗a

=( )( )

(́ ∗ )

1 2 i i−1

⟹ ⟹

K K K G K K G

( ) ( )

(G)=K (G) (G)=K ( ) (G)= (K )

5. ⟹

K G e G Abeliano

{ }

( )= N i−1

⟹ ⊲

K G e catena e ≤ N ≤ … N ≤ N tale che N N e abeliano

{ } { }

( )= ∃una =N =G

n n−1 1 0 i i−1 N i

,°

(G )

GRUPPO RISOLUBILE: Sono equivalenti i seguenti enunciati per :

n

N t.c. K G e

{ }

( )

∃n ∈ =

1) ; N i−1

⊲

catena e ≤ … N ≤ N tale che N N e abeliano

{ }

∃una =N =G

2) n 1 0 i i−1 N i

Allora questo gruppo è risolubile. G

⟸ ⊲

ogni H ≤ Grisolubile Grisolubile risolubile con N G

⇔ N

ANELLI

ANELLO: (R, +, ∙), R≠⍉ e con due operazioni

∙: R → R

+, 5

• (R, +) abeliano con elemento neutro 0 R;

• (R, ∙) gode della proprietà associativa e possiede elemento neutro 1 R

• LEGGI DISTRIBUTIVE

a+b c=ac

( ) +bc

a b+c ac

( ) =ab+

Se (R, ∙) gode della proprietà commutativa, allora l'anello è commutativo

LEMMA:

• ∊ ∊ -1

a R invertibile se b R t.c. ab=ba=1 . b è univocamente determinato e si indica a .

∃ R

¿

∊

1 R , e R R

⊂ {0 ¿

• R* insieme degli invertibili, R R

DOMINIO: (R; +; ∙) si dice dominio (di integrità) se R* è commutativo e non possiede divisori di zero,

∊

a , b R ab=0

{0 ¿

ovvero se non esistono elementi t.c. .

R R

¿ R

R {0 ¿

=R {0 ¿

CAMPO: (R; +; ∙) si dice campo se R* è commutativo e , in altre parole, se ( , ∙) è

R

R

abeliano.

SOTTOANELLO (SOTTOCAMPO): (R; +; ∙), S R, S sottoanello (sottocampo) se S anello (campo)

⊂

rispetto alle operazioni in R.

• ∊ ∊ ∊

Se R anello, S sottoanello sse (S, +) ≤ (R, +), 1 S e xy S x, y S.

∀

R

• Se R campo, S sottocampo sse (S, +) ≤ (R, +) e (S \ {0 }, ∙) ≤ (R\ {0 }, ∙).

R R

Ogni campo è un dominio

⇒

Vedi 6.4 (5,6)

N.B. Se R è dominio allora

[ ]

R x è dominio

• ; ∊ [ ]

deg fg f deg g per f , g R x

( )=deg ( )+ ( )

• ;

¿ ¿

R x]

=R[

• ; n m

∑ ∑

i i

∊ n m

[ ]

f , g R x , f a x e g= b y

{0¿ = a b ≠ 0

Infatti se allora il coefficiente direttivo di fg è .

i i

i=0 i=0

Inoltre se ⟹

fg=1 deg f deg g 1

( )+ ( )=deg ( ) =0

[ ] [ ]

R x R x ¿

∊

f g f g=b a b a b R

( )=deg ( )=0

⇒deg ⇒ =a =1 ⇒

0 0 0 0 R 0 0

¿ ¿ ⟹ [ ]

R x] R dominio R x è dominio

=R[ ⇐

⇓ ∊ [ ]

deg fg f deg g per f , g R x

( )=deg ( )+ ( )

IDEALI

IDEALE: (R, +, ∙) anello. Allora I⊂R è ideale se:

∊ ∊

a+b I a , b I

∀

1) ;

∊ ∊ ∊

ra=ar I per a I , r R

2) . 6

Se I≠R, I IDEALE PROPRIO

N.B.: ( )

−1 ∊

r r a a I

• ∊

Se I contiene un elemento invertibile, allora I = R (perché per r R

• Un campo K possiede solo gli ideali banali;

• ⊲

Se I ideale di R, allora (I, +) (R, +)

⟹

K campo K contiene solo gli ideali banali ∊

a ra r R

∣

{

( ) = ¿

∊

IDEALE PRINCIPALE: Se a R tale che è detto ideale principale generato da a.

Z

N.B.: Gli ideali di sono tutti principali

⊲

ANELLO QUOZIENTE: Poiché (I, +) (R, +) posso considerare (R/I, +) t.c.:

∊ ∊

a x R x−a I I

∣

{

́ = ¿=a+

́ ∊

a b sse a−b I

́ =

́ ́

a b= a+ b

́ + ́ ́ ́ ́

a ∙ b= a∙ b a ∙ b= a' ∙ b '

́ ¿

Con in più un'operazione ∙ t.c. che è ben definita (

N.B.: ¿

Z) a 1 ≤ a≤ n−1, MCD a , n a

∣

{ ( )

(Z /n = ́ =1¿ ́

• ; infatti è invertibile solo se esistono

∊

α , β Z t.c.: '

aα IDENTIT A DI BEZOUT

−nβ=1

Z n Z

/

• è campo sse n è primo

1 1 1

( )( )

φ n 1− 1− …(1−

( ) p … p 1≤ a ≤ n−1

=n )

• con i numeri che sono primi

1 r

p p p

1 2 r

con n è detta FUNZIONE DI EULERO.

Z n Z n primo

/ ⇔ Z Z

/n

TEOREMA DI FERMAT-EULERO: dati a, n primi tra loro in si ha

́

φ n

( )

a 1

́ =

Dim: ∊

a N Z pZ

/

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT: dati e un primo p che non divide a, in si ha

́

p−1

a 1

= . f : R → S

OMOMORFISMO: R, S anelli, allora è omomorfismo di anelli se: 7

f a+ b a f

( )=f ( ) + (b)

• f ab a f b

( )=f ( ) ( )

• f 1

( ) =1

• R S R

≅

Se f è anche biiettiva allora è isomorfismo e .

N.B.: 1) Se K è campo ogni omomorfismo di anelli f è iniettivo.

f : R → S

2) Se è omomorfismo di anelli:

Ker f R∨f a

( )=a ( )

∈ =0

• è ideale di R;

Imf R

=f (a)∨a ∈

• è un sottoanello di S;

f 0 Kerf

( ) =0 =0

• e f è iniettiva sse .

R S R

N.B.:Dati R anello, I ideale di R, l'applicazione

⟼

v : R → R I , a a

/ ́

È omomorfismo di anelli con Kerv=I f : R → S

TEOREMA DI FATTORIZZAZIONE: dati omomorfismo di anelli, I ideale di R t.c.

́

I Ker f f : R/ I → S

⊂ . Allora un omomorfismo di anelli tale che:

∃!

́

R v R/ I f S è commutativa .

→ →

́ ́

f f , Ker f f

ℑ =ℑ /I =Ker . f : R → S

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'OMOMORFISMO: sia omomorfismo di anelli.

R/ Kerf Imf

≅

Allora .

IDEALI MASSIMALI:un ideale I di R si dice massimale sse per ogni ideale A di R, A=I oppure A=R.

Se R è un anello commutativo, un ideale I di R è massimale sse R/I è campo.

DIVISIBILITA' δ

ANELLO EUCLIDEO: Un anello euclideo (R, ) è dato da un dominio R e una funzione

⟶

δ : R N

{O ¿

R 0 a , b R , r R

∈ {O ¿ ∈

Con le proprietà che per tutti gli elementi esistono q tali che:

R

a=bq+r

• r=0 δ r δ(b)

( ) <

• oppure [ ]

K x , deg)

(

N.B.: Se K è campo, allora è anello euclideo.

PROPOSIZIONE δ

DOMINIO A IDEALI PRINCIPALI: In un anello euclideo (R; ) tutti gli ideali sono principali.

Diremo che R è un dominio ideale principale (PID). 8

Dim:

RELAZIONE TRA ELEMENTI: Dati 2 elementi x,yЄR in un dominio R, si dice che

• x divide y, e si scrive x|y, se x=xr per un rЄR, ovvero yЄ(x)

x y

• x,y sono associati, e si scrive se x|ye y|x ovvero (y)=(x)

Z ±

OSSERVAZIONE: In due elementi x,y se e solo se x= y.

x , y R

∈ {0 ¿ ∃

Più in generale in un dominio R si ha per x y sse rЄR* tale che

R

x=ry

Infatti se x y , allora esistono r,sЄR tali che

x=ry e y =sx 1 y=0

sry ( )

−sr

Allora e R R ¿

1 e s ,r R