Tesina: la bellezza

A C

applicare il teorema di Pitagora, in modo da avere:

( )

2

1 1 5

' 2 ' 2 ' 2 2 2

= = + = +1 = +1=

A C A E A F F E 2 4 4 9

Da cui √ √

5 5

' =

A C= 4 2

E pertanto

√ √

1 5 1+ 5

+ = =φ

DC= 2 2 2 φ

Quindi i lati che abbiamo costruito del rettangolo sono 1 e .

Inizialmente esso può sembrarci un rettangolo qualsiasi, ma facciamo un veloce

esperimento con due carte di credito; se ne disponiamo una in orizzontale e una in

verticale allineandole lungo le basi, otterremo lo La diagonale del rettangolo

schema seguente: aureo

Prolungando la diagonale della carta orizzontale, noteremo con stupore che essa

coincide esattamente con il vertice superiore della

carta verticale.

Casualità? No. Forse perché questo particolare

tipo di rettangolo risulta più gradevole alla vista?

È quello che pensavano i nomi più illustri tra i Il partenone, Fidia, V secolo

pittori e gli scultori di tutte le epoche, come non è

un caso che il numero aureo venga denominato

φ

con la lettera (phi), che è l’iniziale

dell’architetto classico più conosciuto: Fidia.

Il rettangolo aureo possiede delle particolari

proprietà:

se sottraiamo o sommiamo ad esso un quadrato di lato uguale a quello del suo lato

maggiore, otterremo un altro rettangolo aureo (il quadrato è infatti lo gnomone del

rettangolo aureo; per gnomone si intende una

qualsiasi figura che, sommata o sottratta all’originale,

produca una figura simile all’originale).

Se tracciamo le diagonali del quadrato e del

rettangolo, noteremo che esse si intersecano sempre La spirale aurea

con un angolo retto.

Ma se al rettangolo aureo più piccolo sottraiamo un

altro quadrato il cui lato è pari al lato minore del

rettangolo, allora non

solo noteremo che le diagonali sono ancora le stesse,

ma troveremo anche un nuovo rettangolo aureo più

piccolo. 10

Proseguendo questa operazione all’infinito, e congiungendo i

vertici dei quadrati, si ottiene quella che viene chiamata spirale

aurea.

La spirale è una particolare curva la cui forma non cambia

quando se ne modificano le dimensioni, sia aumentandole che

diminuendole.

Il triangolo aureo Questa proprietà viene chiamata autosomiglianza (tipica dei

nel pentagono frattali come vedremo successivamente).

Un’altra proprietà delle spirali è che si tratta di una figura

equiangolare, ovvero se tracciamo una linea retta che parte dal suo polo (cioè dal suo

inizio) fino a un qualsiasi altro punto, l’angolo di intersezione sarà sempre lo stesso.

Esistono anche altre due figure geometriche legate strettamente al numero aureo: il

triangolo aureo e il pentagono regolare.

Dato un pentagono regolare e tracciate le sue diagonali, si ottengono una serie di

triangoli come quello giallo in figura, che come rapporto tra i loro lati hanno proprio

φ .

I triangoli aurei sono quelli che hanno per angoli 36°-36°-108° oppure 26°-72°-72° e

volendo essere più precisi, il primo è detto gnomone aureo, mentre il

secondo triangolo aureo.

Dal triangolo aureo si può ricavare una spirale aurea:

se bisechiamo l’angolo alla base (72° in 36° e 36°), noteremo che

il triangolo di partenza si è diviso in altri due triangoli altrettanto

aurei.

Procedendo come per il rettangolo, si tracciano continue bisettrici

ottenendo sempre nuovi triangoli aurei, e creando la spirale vista in

precedenza. La serie di triangoli aurei

Pure il pentagono segue il principio dell’autosomiglianza, con esplicitazione della

continuando a tracciare le diagonali dei pentagoni formatisi spirale di Fibonacci

dall’intersezione delle stesse. (aurea)

Il pentacolo o stella pentagonale, ha una storia molto antica,

infatti sono state rinvenute rappresentazioni di queste figure

anche presso Egizi e popoli mesopotamici.

É stato anche il segno distintivo dei pitagorici, e rappresentava l’armonia nella

salute e nella bellezza, dato che presupponeva un’equilibrata combinazione tra il

primo numero pari, il 2 o diade, e il primo numero dispari, il 3 o triade.

Come sostenette lo scrittore e professore di estetica rumeno Matila Ghyka (1881-

1965): “il pentacolo, o pentagramma, è stato quindi, di volta in volta, il simbolo

dell’Amore e della Bellezza vivente, come pure dell’equilibrio nella salute dell’essere

umano” oltre che dell’essere umano stesso.

BELLEZZA E PERFEZIONE NELL’ARTE (MATEMATICA!)

Nel 1876 il tedesco Gustav Theodor Fechner (1801-1887), l’inventore della

psicometria (che studia la teoria e la tecnica di ricerca in psicologia), eseguì uno studio

statistico su persone prive di ogni preparazione artistica, chiedendo loro di scegliere,

fra vari rettangoli, quello preferito, in cui vi era anche un quadrato e il rettangolo

aureo.

Naturalmente la maggior parte dei soggetti analizzati scelse il rettangolo aureo.

Sovrapposizione di più spirali

auree 11

Fechner realizzò anche molti studi statistici sulle proporzioni nel corpo umano, e

concluse che “perché un oggetto sia considerato bello dal

punto di vista della sua forma, deve avere fra la parte

maggiore e quella minore lo stesso rapporto che passa

tra la maggiore e il tutto.” È la stessa definizione del

rapporto aureo.

Molti altri artisti ed intellettuali erano già arrivati a

convalidare questa idea: vediamone alcuni.

“Ritratto di Luca Pacioli”, Luca Pacioli visse in Italia tra la fine del XV e l’inizio del

Jacopo de’ Barbari, 1495 XVI secolo (1445-1517). Fu il maggiore responsabile

dell’ingresso del numero aureo nell’orbita della bellezza e

dell’arte con il suo libro “De divina proportione”, in cui si

ispirò anche all’architetto romano Vitruvio. Leonardo da Vinci (1452-1519) teorizzò le

proprie convinzioni riguardo all’arte della pittura, sostenendo le necessarie

connessioni tra la pittura e la matematica.

Il suo “Trattato sulla pittura” comincia con la frase “Nessuno che non sia un

matematico legga le mie opere”. Leonardo collaborò

con Pacioli nel disegnare le illustrazioni grafiche del

“De divina proportione”, e applicò le conoscenze

scientifiche sulle proporzioni umane agli studi di

Pacioli e di Vitruvio riguardo la bellezza (homo

quadratus). “Nascita di Venere”, Sandro Botticelli,

L’uomo ideale o vitruviano segue l’idea 1482/1485

rinascimentale dell’uomo al centro dell’universo, dal

momento che risulta inscritto tanto in un cerchio

φ

quanto in un quadrato e proporzionato in base a .

Tali proporzioni erano:

altezza totale = distanza tra le punte delle dita delle due mani

con le braccia aperte = 8 palmi = 6 piedi = 6 facce = 1,618 per

altezza dell’ombelico (distanza dal suolo all’ombelico).

φ

Essa è una buona approssimazione di , ma le effettive

proporzioni del nostro corpo non sono quelle ideali; il matematico

Lambert Adolphe Quételet (1796-1874), uno dei padri della

statistica moderna, ha confermato con i suoi studi che le

proporzioni degli uomini europei (ma non solo) si avvicinano alle

proporzioni ideali solo in media statistica.

“La Crocefissione”, Artisti come Leonardo, ma non solo, utilizzarono la proporzione

Raffaello aurea nei loro dipinti, ad esempio come nella disposizione degli

Sanzio,1502 elementi ne ”L’Ultima cena”, ne “La Gioconda”, ne “La Sacra

Famiglia” di Michelangelo in cui è presente il pentacolo, ne “La

Flagellazione” di Piero della Francesca, ne “La nascita di Venere” di

Botticelli in cui il corpo della dea rispetta le

divine proporzioni e così in molti altri.

Prosecutore delle ricerche di Leonardo fu

Albrecht Dürer (1471-1528), il quale nel 1525

pubblicò il suo primo libro di matematica

“Composizione con grigio e marrone 12

chiaro”, Pierre Mondrian,1918

intitolato “Della Misurazione”, in cui il pittore e matematico illustra la filosofia della

bellezza nell’armonia delle proporzioni.

Si dovettero aspettare alcuni secoli perché si riallacciasse la relazione tra arte e

matematica, ovvero fino all’inizio del XX secolo con l’avvento dell’arte astratta, in cui

rientra ad esempio il cubismo, in cui possiamo trovare dei rettangoli aurei come in

quest’opera del celebre pittore Mondrian.

LA PROPORZIONE AUREA NELL’ARCHITETTURA

La divina proporzione si può trovare nelle

costruzioni che l’uomo fin dall’antichità ha realizzato,

come ad esempio nella Grande Piramide di Cheope in

Egitto, in cui altezza e base hanno una stretta

φ

corrispondenza con , così come gli archi di trionfo

della Roma classica. La proporzione aurea nella

Ma anche in altre civiltà lontane dalla cultura piramide di Cheope

classica vi sono esempi di manufatti realizzati

secondo la proporzione aurea, come la Porta del Sole

di Tihuanaco in Bolivia, monumento di una cultura preincaica, proporzionato in base a

φ .

Come abbaimo detto precedentemente, anche nel

Partenone, realizzato dall’architetto Fidia, è presente

la sezione aurea ed è in suo onore che è stato

φ

attribuito il simbolo (phi) al numero aureo.

Bisogna fare comunque attenzione ai molti errori

di attribuzione, in quanto prendendo le misure

adeguate di qualsiasi monumento, si può sempre

φ

trovare come quoziente, anche se l’architetto La proporzione aurea nella “Porta

non aveva intenzione di realizzare la sua opera

secondo la sezione aurea. del sole di Tihuanaco”

Nel Medioevo è però dimostrato che la proporzione

venisse usata consapevolmente perché documentata; ne sono

un esempio i rosoni delle cattedrali gotiche.

Ma non solo nell’Italia del Rinascimento venne utilizzata la

sezione aurea nel disegno dei suoi edifici monumentali:

l’università di Salamanca in Spagna risale al 1218, e la sua

facciata presenta indubbiamente un grande rettangolo aureo. Ingresso dell’università di

Salamanca, Spagna, 1218

13

Al giorno d’oggi architetti come Frank Lloyd Wright (1867-1959) realizzarono

progetti monumentali da lasciare ai posteri, interamente basati sulla proporzione

aurea: egli in particolare realizzò la rampa del museo

“Guggenheim” di New York seguendo la forma della

spirale aurea; l’architetto polacco Zvi Hecker (1931)

realizzò il progetto per le

scuole Heinz-Galinski di

B