Esercizi sul Teorema di Bayes

TEOREMA DI BAYES

1) Un'urna contiene 10 palline nere e 90 bianche. Una seconda urna contiene 50 palline nere e 50 bianche. Una terza urna contiene 90 palline nere e 10 bianche. Uno sperimentatore sceglie a caso un'urna fra le tre con equiprobabilità, poi estrae a caso, con reinserimento, due palline dall'urna scelta. Si determini la probabilità che l'urna scelta sia quella con 50 nere, se le palline estratte risultano, senza tener conto dell'ordine di estrazione, una nera e una bianca.

P(A_i) = 1/3 i = 1,2,3

P(E|A₁) = (²⁄₁₀₀)(⁹⁰⁄₁₀₀) = 2 · 0,10 · 0,90 = 0,18

P(E|A₂) = (½)(0,50)(0,50) = 0,50

P(E|A₃) = (½)(0,90)(0,10) = 0,18

P(A₂|E) = ^{P(A₂) P(E|A₂)}⁄_{∑i=1³P(Ai) P(E|Ai)}

= ^{⅓ 0,50}⁄_{⅓ (0,18 + 0,50 + 0,18)} = ^0,16⁄_0,286 = 0,5827 ≈ 58%