Probabilità totale: formule ed esempi

Definizioni

Definizione 1: Probabilità totale. Siano dati eventi . Si definisce probabilità totale di e si indica con il simbolo \(P(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n)\) la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi considerati. Formula 1: Probabilità totale di due o più eventi incompatibili. Siano dati eventi incompatibili . La loro probabilità totale si calcola usando la formula seguente: \[ P(E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n) = \sum_{i=1}^n P(E_i) \] In particolare, se gli eventi incompatibili sono solo due la formula si riduce a \[ P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) \] Formula 2: Probabilità totale di due o più eventi compatibili. Siano dati eventi compatibili . La loro probabilità totale si calcola usando la formula seguente: \[ \begin{equation} P(E_1 \cup E_2 \ldots \cup E_n) = \sum_{b \in \{0,1\}^n} (-1)^{1 + \sum_{i=1}^n b_i} P\left(\bigcap_{i: b_i \ne 0} E_i \right) \label{eq1} \end{equation} \] In particolare, se gli eventi compatibili sono solo due o tre, la formula si riduce a \[ \begin{equation} P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) \label{eq2} \end{equation} \] \[ \begin{equation} P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) - P(E_1 \cap E_2) - P(E_1 \cap E_3) - P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) \label{eq3} \end{equation} \] Osservazione 1: Ciò che afferma la formula 2, che può sembrare un po’ complicata, è in sostanza quanto segue: la probabilità totale di eventi compatibili si calcola sommando la probabilità di ciascuno degli eventi, sottraendo le probabilità composte degli eventi presi due a due, sommando le probabilità composte degli eventi presi tre a tre, sottraendo le probabilità composte degli eventi presi quattro a quattro … e così fino a . Osservazione 2: È facile capire la motivazione per cui vale la formula \(\eqref{eq2}\); consideriamo due eventi compatibili ed . Se ci limitiamo a sommare le loro probabilità, avremo considerato due volte l’eventualità che ed si verifichino contemporaneamente: una volta come parte di , ed una volta come parte di . La probabilità totale si ottiene allora sottraendo una di queste due volte, proprio come fatto nella formula \(\eqref{eq2}\). Ragionamenti simili provano la validità delle altre due formule scritte.

Esempi

Esempio 1: Supponiamo di lanciare un dado a sei facce, e consideriamo i seguenti eventi: \[E_1: \text{“esce un numero maggiore o uguale a 5”}\] \[E_2: \text{“esce una potenza di 2”}\] Calcoliamo la probabilità totale dei due eventi ed . In primo luogo dobbiamo scoprire se i due eventi sono o meno compatibili. Nel primo caso i risultati favorevoli del lancio sono \(\{5, 6\}\), mentre nel secondo, \(\{1, 2, 4\}\); poiché non esistono risultati favorevoli in comune tra i due eventi, essi sono incompatibili e la formula da adoperare è la prima. Diremo allora che \[ P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) \cup P(E_2) = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] La probabilità totale che si verifichi almeno uno dei due eventi è dunque \(\frac{5}{6}\). Questo risultato d’altro canto era prevedibile, poiché l’unico lancio che non rientra in nessuno dei due eventi è \(\{3\}\), e questo naturalmente si verifica con probabilità \(\frac{1}{6}\). Esempio 2: Supponiamo di lanciare un dado a sei facce, e consideriamo i seguenti eventi: \[E_1: \text{“esce un multiplo di 3”}\] \[E_2: \text{“esce una potenza di 2”}\] \[E_3: \text{“esce un numero dispari”}\] Calcoliamo la probabilità totale dei tre eventi , ed . Dobbiamo nuovamente scoprire, come nell’esempio precedente, se gli eventi sono o meno compatibili. L’evento è lo stesso che avevamo nell’esempio precedente; i casi favorevoli degli eventi ed sono invece rispettivamente \(\{3, 6\}\) nel primo caso e \(\{1, 3, 5\}\) nel secondo. Dunque l’evento è compatibile con entrambi gli altri due, che invece sono tra loro incompatibili; in totale, i tre eventi formano un insieme compatibile e adopereremo quindi la formula \(\eqref{eq3}\): \[ P(E_1 \cup E_2 \cup E_3) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) - P(E_1 \cap E_2) -P(E_1 \cap E_3) -P(E_2 \cap E_3) + P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = \] \[ = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} + 0 = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1 \] Ciò equivale a dire che la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi , o è 1, ovverosia che tale eventualità è certa. Ciò non è una sorpresa, in quanto qualsiasi possibile risultato del lancio del dado rientra in almeno una delle ipotesi.