Un dado viene lanciato 3 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 almeno una volta? Quante volte deve essere lanciato il dado perché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90%?
Sia
[math]A[/math]
l'evento "nei tre lanci è uscito 6 almeno una volta". L'evento complementare, indicato con [math]\bar{A}[/math]
, rappresenta l'evento "nei 3 lanci il 6 non è mai uscito". Risulta banalmente
[math]P(\bar{A}) = (\frac{5}{6})^3[/math]
dato che i tre lanci sono eventi fra loro indipendenti. Ricordando che
[math]P(A) + P(\bar{A}) = 1[/math]
la probabilità richiesta alla prima domanda vale
[math]P(A) = 1 - (\frac{5}{6})^3[/math]
Ragionando analogamente, si deduce che la probabilità di ottenere 6 almeno una volta in
[math]n[/math]
lanci vale
[math]1 - (\frac{5}{6})^n[/math]
Per risolvere la seconda domanda è necessario trovare il più piccolo intero positivo
[math]n[/math]
tale che
[math]1 - (\frac{5}{6})^n \ge \frac{9}{10}[/math]
[math](\frac{5}{6})^n \le \frac{1}{10}[/math]
(1)Applicando il logaritmo in base
[math]\frac{5}{6}[/math]
ad entrambi i membri, e ricordando che il logaritmo con base minore di [math]1[/math]
è funzione monotona decrescente, la (1) diventa
[math]n \ge \\log_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{10})[/math]
Secondo le formule di cambiamento della base dei logaritmi
[math]\\log_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{10}) = \frac{\ln(\frac{1}{10})}{\ln(\frac{5}{6})} \approx \frac{-2.3}{-0.18} \approx 12.8[/math]
Pertanto il numero minimo
[math]n[/math]
di lanci affinché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90% è
[math]n = 13[/math]
FINE
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