Di seguito affronteremo un esercizio di calcolo delle probabilità in cui risulta utile passare all'evento complementare, ovvero l'evento opposto alla situazione che stiamo considerando.
Se per esempio consideriamo l'evento
[math] E [/math]
= "Oggi piove", l'evento complementare [math] \bar{E} [/math]
è "Oggi non piove".In particolare, vale un'utile proprietà:
[math] P(E) + P(\bar{E}) = 1 [/math]
[math] E [/math]
. Questo perché un evento può o verificarsi o non verificarsi, ergo considerando tutti e due i casi arriviamo all'evento certo, che ha probabilità 1.Affrontiamo ora un esercizio.
Testo dell'esercizio
Un dado viene lanciato 3 volte.- Qual è la probabilità di ottenere 6 almeno una volta?
- Quante volte deve essere lanciato il dado perché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90%?
Soluzione dell'esercizio
Sia[math]A[/math]
l'evento "nei tre lanci è uscito 6 almeno una volta". L'evento complementare, indicato con [math]\bar{A}[/math]
, rappresenta l'evento "nei 3 lanci il 6 non è mai uscito". In effetti calcolare direttamente la probabilità di
[math] A [/math]
non è immediato perché comprende tre sottocasi: la probabilità di ottenere esattamente un 6, esattamente due 6, ed esattamente tre 6. L'evento complementare invece contempla un solo caso, equivalente ad ottenere in tutti e 3 i lanci dei numeri diversi da 6. Risulta banalmente:
[math]P(\bar{A}) = \left (\frac{5}{6} \right )^3[/math]
dato che i tre lanci sono eventi fra loro indipendenti. Ricordando che
[math]P(A) + P(\bar{A}) = 1[/math]
come detto prima, la probabilità richiesta alla prima domanda vale:
[math]P(A) = 1 - (\frac{5}{6})^3[/math]
Ragionando analogamente, si deduce che la probabilità di ottenere 6 almeno una volta in
[math]n[/math]
lanci vale:
[math]1 - (\frac{5}{6})^n[/math]
Per risolvere la seconda domanda è necessario trovare il più piccolo intero positivo
[math]n[/math]
tale che
[math]1 - (\frac{5}{6})^n \ge \frac{9}{10} \to (\frac{5}{6})^n \le \frac{1}{10} [/math]
Questa è una disequazione esponenziale.
Applicando il logaritmo in base
[math]\frac{5}{6}[/math]
ad entrambi i membri, e ricordando che il logaritmo con base minore di [math]1[/math]
è funzione monotona decrescente, la (1) diventa
[math]n \ge \log_{\frac{5}{6}} \left (\frac{1}{10} \right )[/math]
Secondo le formule di cambiamento della base dei logaritmi
[math]\log_{\frac{5}{6}} \left (\frac{1}{10} \right ) = \frac{\ln(1/10)}{\ln(5/6)} \approx \frac{-2.3}{-0.18} \approx 12.8[/math]
Pertanto il numero minimo
[math]n[/math]
di lanci affinché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90% è [math]n = 13[/math]
.
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