Geometria analitica nello spazio: sfera, ellissoide, paraboloide

Sfera Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una sfera con centro in (x_0, y_0, z_0) e raggio R è (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 Equazione in coordinate sferiche: l'equazione in coordinate sferiche di una sfera con

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Indice

  1. Sfera
  2. Ellissoide
    1. Paraboloide ellittico
  3. Paraboloide
    1. Paraboloide iperbolico

Sfera

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di una sfera con centro in

[math](x_0, y_0, z_0)[/math]

e raggio

[math]R[/math]

è

[math](x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2[/math]

Equazione in coordinate sferiche: l'equazione in coordinate sferiche di una sfera con centro in

[math](x_0, y_0, z_0)[/math]

e raggio

[math]R[/math]

è

[math]\begin{cases} x = x_0 + R \\sin ( heta) \\cos(\phi) \\ y = y_0 + R \\sin ( heta) \\sin(\phi) \\ z = z_0 + R \\cos( heta) \ \end{cases} qquad heta in [0, \pi] quad \phi in [0, 2 \pi)[/math]

Area: data una sfera di raggio

[math]R[/math]

, la superficie sferica vale

[math]4 \pi R^2[/math]

Volume: il volume di una sfera con raggio

[math]R[/math]

vale

[math]frac{4}{3} \pi R^3[/math]

Ellissoide

ellissoide.gif


Equazione cartesiana: dati

[math]a, b, c in mathbb{R}^+[/math]

, l'equazione cartesiana dell'ellissoide standard è

[math]frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} +frac{z^2}{c^2} = 1[/math]

Se

[math]a = b[/math]

o

[math]b = c[/math]

o

[math]a = c[/math]

l'ellissoide viene detto sferoide, se invece

[math]a = b = c[/math]

l'equazione precedente identifica una sfera con centro in

[math](0,0,0)[/math]

e raggio

[math]a[/math]

.

Volume: il volume di un ellissoide con equazione

[math]frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + frac{z^2}{c^2} = 1[/math]

è

[math]\text{Volume} = frac{4}{3} \pi abc[/math]

.

Paraboloide

I due luoghi geometrici trattati nel seguito sono detti paraboloidi perché le loro sezione verticali sono parabole.

Paraboloide ellittico

paraboloide_ellittico.jpg

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è

[math]frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} + 2z = 0[/math]

Un tale paraboloide si chiama ellittico perché le sue sezioni orizzontali sono ellissi.

Paraboloide iperbolico

paraboloide_iperbolico.jpg

Equazione cartesiana: l'equazione cartesiana di un paraboloide ellittico è

[math]frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{y^2} + 2z = 0[/math]

Un tale paraboloide si dice iperbolico perché le sue sezioni orizzontali sono iperboli.

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