Trapezio: cenni di teoria e formule inverse

In questo appunto di matematica si parla del trapezio, partendo dalla teoria fino ad arrivare alla pratica.
Verranno descritte le varie formule principali, rivolgendo una particolare attenzione alle formule inverse.
Verranno analizzati degli esempi brevi che ci faranno capire quando utilizzare una formula piuttosto di un’altra a seconda dei vari casi.

Che cos’è il trapezio?

, esso viene anche chiamato quadrilatero.
È composto da due lati paralleli tra loro, chiamati basi, avremo un lato più lungo che prenderà il nome di base maggiore, e un lato più corto che prenderà il nome di base minore, e da due lati obliqui.
La distanza tra la base maggiore e la base minore viene chiamata altezza del trapezio.
Esso presenta anche dei casi particolari, come il parallelogramma oppure il rettangolo (quando i due lati sono simmetrici rispetto ai due lati ortogonali).

Tipologie di trapezi

Il trapezio può essere classificato in tre tipologie:

• Trapezio rettangolo: si ha quando si vengono a formare due angoli retti, cioè a
  [math]90°[/math]
  ; in altre parole quando un lato obliquo diventa perpendicolare ad entrambe le basi.
• Trapezio isoscele: si ha quando i due lati obliqui sono uguali fra di loro.
• Trapezio scaleno: si ha quando tutti i lati, in particolare i due lati obliqui (le basi sono già diverse, sennò si avrebbe un rettangolo) sono diversi fra di loro.

Formule principali del trapezio

Innanzitutto definiamo l’area del trapezio:

Dove:

• [math]b_1[/math]
  è la base maggiore;
• [math]b_2[/math]
  è la base minore;
• [math]h[/math]
  è l’altezza.

Dall’area del trapezio ci possiamo ricavare le seguenti formule inverse, in particolare l’altezza, la base minore e la base maggiore:

Nel caso non si avesse l’altezza oppure ci si vuole calcolare il perimetro, si possono ricavare i lati obliqui applicando il Teorema di Pitagora:

Le formule inverse del Teorema di Pitagora sono:

Per ulteriori approfondimenti sul Teorema di Pitagora vedi qua.

Esempi applicativi

• Esempio 1: consideriamo un trapezio isoscele che ha la base maggiore lunga
  [math]35 cm[/math]
  , la base minore lunga
  [math]23 cm[/math]
  e sia l’altezza pari a
  [math]15 cm[/math]
  .
  Calcolare l’area del trapezio.

  Svolgimento:
  Prendiamo la formula che fa riferimento all’area del trapezio:
  

  [math]A=\frac{(b_1+b_2)\cdot h}{2}[/math]
  Andiamo ad inserire i nostri dati all’interno della formula e risolviamo:
  
  [math]A=\frac{(35+23)\cdot 15}{2}=435 cm^{2}[/math]
• Esempio 2: consideriamo un trapezio isoscele con perimetro pari a
  [math]168 cm[/math]
  , di altezza pari a
  [math]45 cm[/math]
  e sia un lato obliquo lungo
  [math]51 cm[/math]
  .
  Calcolare la somma delle basi e l’area del trapezio.

  Svolgimento:
  Essendo un trapezio isoscele i lati obliqui saranno uguali, quindi entrambi valgono

  [math]51 cm[/math]
  .
  Tramite il Teorema di Pitagora, prendendo in considerazione un lato obliquo e l’altezza ci andiamo a ricavare la proiezione del lato obliqui sulla base maggiore:
  
  [math] a_1 = \sqrt{(i^{2} - a_2^{2})}[/math]
  [math] proiezione = \sqrt{(51^{2} - 45^{2})}=6 cm[/math]
  Sappiamo che il perimetro è pari a
  [math]168 cm[/math]
  .
  Andiamo a sottrarre al perimetro i due lati obliqui, e due volte la proiezione che abbiamo trovato, così facendo otteniamo due volte la base minore.
  In seguito dividiamo per
  [math]2[/math]
  per ottenere la base minore:
  
  [math]b_1= 27cm[/math]
  Per trovare la base maggiore, sommiamo alla base minore due volte la proiezione calcolata precedentemente:
  
  [math]b_2=27+6+6=39 cm[/math]
  Per trovare la somma delle basi, andiamo a sommare la base minore e la base maggiore:
  
  [math]b_1+b_2=27+39=66 cm[/math]
  Per calcolare l’area andiamo ad applicare la formula generale:
  
  [math]A=\frac{(b_1+b_2)\cdot h}{2}[/math]
  E andiamo a risolvere:
  
  [math]A=\frac{(27+39)\cdot 45}{2}=1485 cm^{2}[/math]
• Esempio 3: un trapezio rettangolo ha l’area pari
  [math]480 cm^{2}[/math]
  , e la somma delle basi è pari
  [math]64 cm[/math]
  .
  Calcolare il valore dell’altezza del trapezio.

  Svolgimento:
  Innanzitutto individuiamo la formula da applicare:
  

  [math]h = \frac{ 2A}{(b_1+b_2)}[/math]
  Una volta individuata inseriamo i nostri dati e risolviamo:
  
  [math]h = \frac{ 2\cdot480}{64}=15cm [/math]
• Esempio 4:consideriamo un trapezio isoscele con area pari a
  [math]1000 cm^{2}[/math]
  , di altezza pari a
  [math]40 cm[/math]
  e sia la base minore lunga
  [math]20 cm[/math]
  .
  Calcolare il valore della base maggiore in dm.

  

  Svolgimento:
  Innanzitutto individuiamo la formula da applicare:
  

  [math]b_2= \frac{2A}{h}-b_1[/math]
  Una volta individuata inseriamo i nostri dati e risolviamo:
  
  [math]b_2 = \frac{2\cdot 1000}{40}-20=30 cm [/math]
  In seguito effettuiamo la conversione:
  
  [math]30cm = 3 dm[/math]
• Esempio 5: consideriamo un trapezio isoscele con perimetro pari a
  [math]250 cm[/math]
  , di altezza pari a
  [math]30 cm[/math]
  e sia un lato obliquo lungo
  [math]45 cm[/math]
  .
  Calcolare la somma delle basi e l’area del trapezio.

  Svolgimento:
  Essendo un trapezio isoscele i lati obliqui saranno uguali, quindi entrambi valgono

  [math]45 cm[/math]
  .
  Tramite il Teorema di Pitagora, prendendo in considerazione un lato obliquo e l’altezza ci andiamo a ricavare la proiezione del lato obliqui sulla base maggiore:
  
  [math] a_1 = \sqrt{(i^{2} - a_2^{2})}[/math]
  [math] proiezione = \sqrt{(45^{2} - 30^{2})}=33,5 cm[/math]
  Sappiamo che il perimetro è pari a
  [math]250 cm[/math]
  .
  Andiamo a sottrarre al perimetro i due lati obliqui, e due volte la proiezione che abbiamo trovato, così facendo otteniamo due volte la base minore.
  In seguito dividiamo per
  [math]2[/math]
  per ottenere la base minore:
  
  [math]b_1= 46,5cm[/math]
  Per trovare la base maggiore, sommiamo alla base minore due volte la proiezione calcolata precedentemente:
  
  [math]b_2=46,5+33,5+33,5=113,5 cm[/math]
  Per trovare la somma delle basi, andiamo a sommare la base minore e la base maggiore:
  
  [math]b_1+b_2=46,5+113,5=160 cm[/math]
  Per calcolare l’area andiamo ad applicare la formula generale:
  
  [math]A=\frac{(b_1+b_2)\cdot h}{2}[/math]
  E andiamo a risolvere:
  
  [math]A=\frac{(46,5+113,5)\cdot 30}{2}=2400 cm^{2}[/math]