Trapezi: formule, definizioni e proprietà

In quest'appunto troverai tutte le informazioni necessarie per svolgere i problemi sui trapezi, con approfondimento sui trapezi rettangoli.

Le figure piane: cos'è un poligono

Quando si parla di geometria, è necessario sempre specificare se si parla di geometria solida oppure piana.

La prima descrive figure sviluppate in tre dimensioni e aventi quindi anche una profondità; sono figure solide i parallelepipedi, i cilindri, i cubi etc. La geometria piana, invece, analizza le figure in due dimensioni, ossia quelle aventi soltanto larghezza e altezza.

Geometria piana e geometria solida non sono concetti del tutto indipendenti: le facce dei solidi, infatti, non sono altro che figure piane. Le formule finalizzate al calcolo del volume e della superficie totale, richiamano quelle della geometria piana: per questo motivo, prima di intraprendere lo studio della geometria solida, è importante poter contare sulla conoscenza approfondita della geometria piana.

La maggior parte delle figure piane sono poligoni, ossia una parte di piano racchiusa all'interno di una linea spezzata chiusa. Si definisce spezzata chiusa una linea formata da tanti segmenti consecutivi aventi direzioni differenti. Essendo una curva chiusa, il primo estremo del primo segmento coincide con l'ultimo estremo dell'ultimo segmento.

Vi è, tuttavia, una figura piana molto importante che non rientra nel gruppo dei poligoni: il cerchio. Quest'ultimo non può essere considerato un poligono poiché il suo perimetro non è definito da una spezzata ma da una curva chiusa, la circonferenza. Essa non è altro che un insieme di punti aventi una distanza pari al raggio da un altro punto fissato, chiamato centro.

Le figure piane: quali sono le principali

Nei paragrafi successivi ci soffermeremo solo ed esclusivamente sulle figure piane poligonali e in particolare sui trapezi. Prima di fare quest'approfondimento, tuttavia, è necessario fare una lista delle principali figure piane e un elenco delle loro principali proprietà.

Le figure piane principali sono:

• i triangoli, aventi tre lati, tre angoli e tre vertici. Essi possono essere classificati a partire dalle caratteristiche di questi ultimi. Se un triangolo ha due lati congruenti si definisce isoscele, se non ha lati congruenti si chiama scaleno e se, invece, ha i lati tutti congruenti prende il nome di equilatero. La classificazione può essere effettuata anche a partire dagli angoli: un triangolo è rettangolo se presenta un angolo retto, acutangolo se presenta angoli acuti o ottusangolo se presenta un angolo ottuso
• i quadrati, ossia parallelogrammi aventi tutti gli angoli e tutti i lati uguali. I parallelogrammi sono una famiglia particolare di quadrilateri: essi sono caratterizzati dalla presenza di lati opposti paralleli
• i rettangoli, cioè parallelogrammi aventi i lati opposti congruenti e tutti gli angoli uguali
• i trapezi, che approfondiremo nei prossimi paragrafi

I trapezi: come si classificano e proprietà principali

Il trapezio può essere descritto, in modo molto generico, come un quadrilatero avente due lati paralleli, chiamate basi. Gli altri due lati vengono generalmente chiamati lati obliqui e uniscono gli estremi corrispondenti delle due basi.

Affinché un quadrilatero sia un trapezio, è fondamentale che la somma dei due angoli adiacenti al lato obliquo sia pari a

.
Inoltre, è necessario che vi sia una proporzionalità tra le diagonali. Esse infatti si incontrano in un punto: i due segmenti formati sulle due diagonali devono essere rispettivamente proporzionali.

Tali figure possono essere classificate a seconda delle caratteristiche dei lati obliqui e degli angoli alla base. In particolare è possibile riconoscerne quattro tipi differenti, ossia:

• i trapezi scaleni, aventi lati e angoli di estensione differente
• i trapezi ottusangoli, che presentano un angolo ottuso alla base. Questo tipo di trapezio non può essere isoscele (perché la somma degli angoli interni di un trapezio è pari a
  [math]360°[/math]
  )
• i trapezi isosceli, aventi i due angoli alla base di uguale ampiezza. Da ciò deriva che anche i due lati obliqui sono uguali
• i trapezi rettangoli, che presentano un lato obliquo perpendicolare alla base. Esso può essere suddiviso in un quadrilatero e un triangolo rettangolo: questo può rendere il calcolo delle principali grandezze molto più semplice

Quali sono le formule da utilizzare per calcolare perimetro e area dei trapezi

I trapezi sono spesso considerati delle figure "complicate" poiché non presentano particolari proprietà da sfruttare per semplificare il calcolo di perimetro e area.

Il primo, infatti, dev'essere calcolato sommando la lunghezza dei lati. Solo nel caso del trapezio isoscele è possibile semplificare il calcolo sommando alla lunghezza delle due basi

il doppio del lato obliquo

in questo modo:

.

Come già accennato in precedenza, i trapezi rettangoli sono scomponibili in due figure, attraverso l'ausilio dell'altezza interna. Per questo motivo, anche in questo caso il perimetro totale può essere calcolato ricercando il perimetro delle due figure che lo compongono e sottraendo al risultato finale i lati interni alla figura (perché il perimetro è soltanto la somma del "contorno" della figura).

Per quanto riguarda l'area, essa può essere calcolata come la semisomma delle due basi per l'altezza. In termini matematici, definita l'altezza

:

.
Anche in questo caso, è possibile sfruttare la proprietà precedentemente citata dei triangoli rettangoli: l'area può essere calcolata semplicemente sommando le superfici delle due figure.

Per ulteriori approfondimenti sui trapezi vedi anche qui