Trapezio con diagonale perpendicolare al lato obliquo

Trapezio con diagonale perpendicolare al lato obliquo

Risolviamo un problema di geometria piana relativo ad un trapezio con le diagonali perpendicolari al lato obliquo. Esaminiamo il testo del problema:

"Di un trapezio è nota la misura della diagonale, lunga 126cm. Si sa inoltre che è perpendicolare al lato obliquo. Sono date anche le misure delle due basi, per la minore 105,4cm e 130cm per la maggiore. Si chiede di calcolare il perimetro e l'area del trapezio."

Leggendo con attenzione il testo, si parla di una sola diagonale, quindi deduciamo che il trapezio è isoscele, ovvero i suoi lati obliqui sono congruenti e pure gli angoli adiacenti ad essi.

Facciamo subito un disegno per rappresentare il trapezio, indicando i suoi elementi come segue:

Base maggiore,B:

[math]\overline{AB} [/math]

Base minore, b:

[math]\overline{CD} [/math]

Lato obliquo, l:

[math]\overline{BC} [/math]

Diagonale, d:

[math]\overline{AC} [/math]

Altezza, h :

[math]\overline{CH} [/math]

Svolgimento
Per calcolare Area e perimetro dobbiamo prima trovare la misura sia del lato obliquo che dell'altezza.
Poiché la diagonale è perpendicolare ad esso, il triangolo ADB è rettangolo il D, quindi Il lato BD è cateto minore del triangolo. Applicando il teorema di Pitagora troviamo la sua misura:

[math]\overline{BD}=\sqrt{B^2-d^2}[/math]

Inseriamo i valori numerici:

[math]\overline{BD}=\sqrt{(130^2-126^2)cm^2}[/math]

[math]\overline{BD}=\sqrt{1024 cm^2}=32 cm[/math]

Ora è possibile calcolare il perimetro della figura, sommando tutti i suoi lati:

[math]2p=B+b+2l[/math]

[math]2p=130+105,4+2\times 32[/math]

[math]2p=299,4 cm[/math]

Come troviamo l'altezza?

Osserviamo il triangolo AHC, esso è retto in H.
Ne conosciamo l'ipotenusa AD, troviamo la misura del cateto minore AH per semi-differenza tra le due basi:

[math]\overline{AH}=c=\frac{B-b}{2}[/math]

[math]c=\frac{130-105,4}{2}[/math]

[math]c=12,3 cm[/math]

Ed ora applichiamo nuovamente il teorema di Pitagora, per determinare la misura di CH:

[math]h=\sqrt{l^2-c^2}[/math]

[math]h=\sqrt{32^2-12,3^2}[/math]

[math]h=\sqrt{827,71cm^2}[/math]

[math]h=29,5 cm[/math]

Ed ora l'area del trapezio:

[math] A=\frac {(B+b)h}{2}[/math]

[math] A=\frac {(130+105,4)29,5}{2}[/math]

[math] A=3472,2 cm^2[/math]