Video appunto: Angoli al centro e angoli alla circonferenza - Teoria

Angoli al centro e alla circonferenza - Teoria



Angolo al centro - definizione



Consideriamo una circonferenza di centro
[math]O[/math]
.
Su di essa prendiamo inoltre due punti:
[math]A, B[/math]
.
Allora diremo che
[math]\widehat{AOB}[/math]
è un angolo al centro in quanto ha il vertice nel centro della circonferenza.


Angolo alla circonferenza - Definizione



Prendiamo adesso, sempre sulla circonferenza, un punto C. L'angolo
[math]\widehat{ACB}[/math]
è detto angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro se i punti sulla circonferenza compresi tra i due angoli sono gli stessi.
Viceversa, l'angolo
[math]\widehat{AOB}[/math]
è detto angolo al centro corrispondente all'angolo alla circonferenza
[math]\widehat{ACB}[/math]
.

Teorema dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza
L'ampiezza di un angolo al centro è equivalente al doppio dell'ampiezza dell'angolo alla circonferenza ad esso corrispondente.
Dimostriamo adesso il teorema.

Dimostrazione Teorema
Il triangolo
[math]OAB[/math]
è isoscele in quanto OA=OB (sono entrambi raggi!), poniamo quindi
[math]\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\alpha[/math]
.
Anche i triangoli
[math]OBC[/math]
e
[math]OCA[/math]
sono isosceli perché
[math]OB=OC=OA[/math]
, pertanto possiamo porre
[math]\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=\gamma[/math]
e
[math]\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\beta[/math]
.
Notiamo che
[math]\widehat{ACB}=\gamma+\beta[/math]
.
Sfruttando il fatto che in un triangolo la somma degli angoli interni vale un angolo piatto si ha
[math]2\alpha+2\beta+2\gamma=180°[/math]
pertanto
[math]\alpha+\beta+\gamma=90°[/math]
e quindi
[math]\widehat{ACB}=90-\alpha[/math]
.
Ma allora per differenza di angoli,
[math]\widehat{AOB}=180°-\alpha-\alpha=180°-2\alpha[/math]
ed effettivamente
[math]2(90-\alpha)=180-2\alpha[/math]
, come volevamo dimostrare.