Secondo teorema sulle corde

Teorema: "Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare ad una corda, allora la corda, l'angolo al centro e l'arco corrispondenti risultano divisi a metà da tale diametro."

Dimostrazione:

Ip:

[math]AB⊥CD[/math]
.
[math]AB[/math]
è diametro.
[math]CD[/math]
è corda.

Th:

[math]CM=MD[/math]
.
[math]COB=BOD[/math]
.
[math]CB=BD[/math]
.

Consideriamo due funzioni:

[math]f(AB):OC=r[/math]
e
[math]f'(AB):OD=r[/math]
.

La funzione rispetto all'asse passante per

[math]AB[/math]
che risulta essere diametro, sarà l'uguaglianza tra le due funzioni:

[math]f(AB)=f'(AB):OC=OD=r[/math]
.

Da qui otteniamo che il punto

[math]O[/math]
è equidistante sia dall'estremo
[math]C[/math]
che dall'estremo
[math]D[/math]
, ma esso è anche centro della circonferenza, pertanto
[math]OC[/math]
ha la stessa distanza di
[math]OD[/math]
e quindi sono congruenti e sono appunto raggi, poiché congiungono il centro con un punto appartenente alla circonferenza stessa. Il triangolo
[math]COD[/math]
è isoscele sulla base
[math]CD[/math]
la quale sottende l'arco
[math]CD[/math]
.

In un triangolo isoscele l'asse coincide con l'altezza, quindi

[math]OM[/math]
è altezza, ma allo stesso modo coincide con la mediana, e dunque:

[math]CM=MD[/math]
, e coincide con la bisettrice, quindi:
[math]COB=BOD[/math]
. a angoli al centro congruenti, in una circonferenza, corrispondono archi congruenti, quindi
[math]CB=BD[/math]
. Come volevasi dimostrare.

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