Simmetrie nel piano

b γ ≠ γ ≠

1) p 1, 2

a b 90°

b γ

γ

2) p 4, 4mm

a = b = 90°

a γ

3) p 6, 6mm

b a = b = 120°

γ a ≠ γ

4) p a b = 90°

b γ a m, 2mm

γ ≠

p a = b 90°

a

5) γ

b γ b ≠ γ

c

a a b = 90°

Gruppi del piano

Passare dalla unità asimmetrica alla struttura

struttura

unità

asimmetrica 11

Gruppi del piano

Gruppi del punto Tipo di reticolo Gruppi del piano

1, 2 p p1, p2

4, 4mm p p4, p4mm

3, 3m, 6, 6mm p p3, p3m1, p31m, p6,

p6mm

p pm, p2mm

m, 2mm c cm, c2mm

simmetrie dei gruppi del piano trovati

• Ogni gruppo del piano possiede innanzitutto un

sottogruppo di operazioni di simmetria

traslazionale.

• Fanno inoltre parte del gruppo le simmetrie

rotazionali associate agli infiniti punti reticolari.

• Il gruppo comprende poi tutte le nuove

operazioni generate dalla combinazione delle

operazioni rotazionali con le traslazioni. 12

Composizione delle rotazioni proprie

con le traslazioni reticolari

• caso generale: α

• composizione di una rotazione

attorno ad un punto A con la

traslazione AA’, considerando il

risultato dell’applicazione di tale

coppia ordinata di operazioni ad

una linea l passante per A e

α/2

facente un angolo con la

normale ad AA’.

• una rotazione attorno ad un

α,

punto A di un angolo seguita

da una traslazione t (che porta

A in A’) è equivalente ad una

α

rotazione attorno ad un punto

B situato sulla linea BM normale

ad AA’nel suo punto di mezzo M

e collocato ad una distanza BM

da AA’ pari a: α/2

• BM = (AA’/2) cotg

altezza del nuovo punto di rotazione rispetto alla

traslazione t α/2

α α/2 BM

cotg

π π/2

180° 0 0

√3/3 √3/6

2/3π π/3

120° t

π/2 π/4

90° 1 1/2 t

√3 √3/2

π/3 π/6

60° t

−2/3π −π/3

-120 -√3/3 -√3/6 t

−π/2 −π/4

-90° -1 -1/2 t 13

Composizione della simmetria rotazionale 2 con le

traslazioni reticolari

combinazione delle rotazioni di 120° e 240° attorno ad A

con le traslazioni reticolari t e t +t di una cella esagonale

1 1 2 14

combinazione delle rotazioni di 90°, 180° e –90° (= 270°)

con le traslazioni t e t + t di una cella quadrata

1 1 2

combinazione delle rotazioni di 60°, 120°, 180°, -120°, -

60° attorno ad A (punto di rotazione di ordine 6) con la

traslazione t1 15

Composizione delle riflessioni con

le traslazioni reticolari

• Consideriamo dapprima l’effetto della combinazione di

una riflessione con una traslazione in una direzione

ortogonale alla linea di riflessione. La Figura mostra che

riflettere in m e traslare di t equivale a riflettere in m ,

1 2

linea di riflessione posta a distanza t/2 da m .

1

Composizione delle riflessioni con

le traslazioni reticolari

• Composizione di una riflessione con una

traslazione parallela

....... -t E t 2t 3t 4t .....

....... .m m m m m m .....

-t. t 2t 3t 4t 16

Composizione delle riflessioni con

le traslazioni reticolari

• Composizione di una riflessione con una

traslazione parallela

• ........ -t E t 2t 3t 4t .....

• ....... m m m m m m .....

-t/2 t/2 3t/2 5t/2 7t/2 9t/2

• E’ facile constatare come tale insieme di

operazioni costituisca gruppo. L’operazione

caratteristica mt/2 viene simboleggiata con la

lettera g (glide) e rappresentata da una linea

tratteggiata. Il corrispondente gruppo di

operazioni può convenientemente scriversi:

• ........ -t E t 2t 3t 4t ......

• ........ g g g g g g ......

-t t 2t 3t 4t

• assumendo, in tal modo, la struttura tipica dei

gruppi impropri. 17

Composizione di una riflessione con una

traslazione generale.

• eventuali linee di simmetria parallele a lati di reticoli

centrati comportano, necessariamente, la presenza di

glides che si alternano con esse

Completamento della derivazione

dei gruppi del piano

Tipo di reticolo Gruppi del piano

Parallelogramma, p p1, p2

Rettangolo, p pm, pg, p2mm, p2gg, p2mg

Rettangolo centrato, c cm, c2mm

Quadrato, p p4, p4mm, p4mg

Rombo a 120°, p p3, p3m1, p31m, p6, p6mm 18

Completamento della derivazione

dei gruppi del piano

Completamento della derivazione

dei gruppi del piano 19

20

Gruppi del piano

La combinazioni delle simmetrie del punto

con i cinque possibili reticoli genera

17 gruppi del piano

Nelle prossime diapositive vedremo alcuni

esempi di disposizioni simmetriche di oggetti

nel piano, tratti da opere di M.C. Esher (un

mito, per chi studia le simmetrie;) e da

pitture o intarsi di varie epoche e paesi.

•

Pittura egizia 21