Simmetrie nel piano
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ESTRATTO DOCUMENTO
b γ ≠ γ ≠
1) p 1, 2
a b 90°
b γ
γ
2) p 4, 4mm
a = b = 90°
a γ
3) p 6, 6mm
b a = b = 120°
γ a ≠ γ
4) p a b = 90°
b γ a m, 2mm
γ ≠
p a = b 90°
a
5) γ
b γ b ≠ γ
c
a a b = 90°
Gruppi del piano
Passare dalla unità asimmetrica alla struttura
struttura
unità
asimmetrica 11
Gruppi del piano
Gruppi del punto Tipo di reticolo Gruppi del piano
1, 2 p p1, p2
4, 4mm p p4, p4mm
3, 3m, 6, 6mm p p3, p3m1, p31m, p6,
p6mm
p pm, p2mm
m, 2mm c cm, c2mm
simmetrie dei gruppi del piano trovati
• Ogni gruppo del piano possiede innanzitutto un
sottogruppo di operazioni di simmetria
traslazionale.
• Fanno inoltre parte del gruppo le simmetrie
rotazionali associate agli infiniti punti reticolari.
• Il gruppo comprende poi tutte le nuove
operazioni generate dalla combinazione delle
operazioni rotazionali con le traslazioni. 12
Composizione delle rotazioni proprie
con le traslazioni reticolari
• caso generale: α
• composizione di una rotazione
attorno ad un punto A con la
traslazione AA’, considerando il
risultato dell’applicazione di tale
coppia ordinata di operazioni ad
una linea l passante per A e
α/2
facente un angolo con la
normale ad AA’.
• una rotazione attorno ad un
α,
punto A di un angolo seguita
da una traslazione t (che porta
A in A’) è equivalente ad una
α
rotazione attorno ad un punto
B situato sulla linea BM normale
ad AA’nel suo punto di mezzo M
e collocato ad una distanza BM
da AA’ pari a: α/2
• BM = (AA’/2) cotg
altezza del nuovo punto di rotazione rispetto alla
traslazione t α/2
α α/2 BM
cotg
π π/2
180° 0 0
√3/3 √3/6
2/3π π/3
120° t
π/2 π/4
90° 1 1/2 t
√3 √3/2
π/3 π/6
60° t
−2/3π −π/3
-120 -√3/3 -√3/6 t
−π/2 −π/4
-90° -1 -1/2 t 13
Composizione della simmetria rotazionale 2 con le
traslazioni reticolari
combinazione delle rotazioni di 120° e 240° attorno ad A
con le traslazioni reticolari t e t +t di una cella esagonale
1 1 2 14
combinazione delle rotazioni di 90°, 180° e –90° (= 270°)
con le traslazioni t e t + t di una cella quadrata
1 1 2
combinazione delle rotazioni di 60°, 120°, 180°, -120°, -
60° attorno ad A (punto di rotazione di ordine 6) con la
traslazione t1 15
Composizione delle riflessioni con
le traslazioni reticolari
• Consideriamo dapprima l’effetto della combinazione di
una riflessione con una traslazione in una direzione
ortogonale alla linea di riflessione. La Figura mostra che
riflettere in m e traslare di t equivale a riflettere in m ,
1 2
linea di riflessione posta a distanza t/2 da m .
1
Composizione delle riflessioni con
le traslazioni reticolari
• Composizione di una riflessione con una
traslazione parallela
....... -t E t 2t 3t 4t .....
....... .m m m m m m .....
-t. t 2t 3t 4t 16
Composizione delle riflessioni con
le traslazioni reticolari
• Composizione di una riflessione con una
traslazione parallela
• ........ -t E t 2t 3t 4t .....
• ....... m m m m m m .....
-t/2 t/2 3t/2 5t/2 7t/2 9t/2
• E’ facile constatare come tale insieme di
operazioni costituisca gruppo. L’operazione
caratteristica mt/2 viene simboleggiata con la
lettera g (glide) e rappresentata da una linea
tratteggiata. Il corrispondente gruppo di
operazioni può convenientemente scriversi:
• ........ -t E t 2t 3t 4t ......
• ........ g g g g g g ......
-t t 2t 3t 4t
• assumendo, in tal modo, la struttura tipica dei
gruppi impropri. 17
Composizione di una riflessione con una
traslazione generale.
• eventuali linee di simmetria parallele a lati di reticoli
centrati comportano, necessariamente, la presenza di
glides che si alternano con esse
Completamento della derivazione
dei gruppi del piano
Tipo di reticolo Gruppi del piano
Parallelogramma, p p1, p2
Rettangolo, p pm, pg, p2mm, p2gg, p2mg
Rettangolo centrato, c cm, c2mm
Quadrato, p p4, p4mm, p4mg
Rombo a 120°, p p3, p3m1, p31m, p6, p6mm 18
Completamento della derivazione
dei gruppi del piano
Completamento della derivazione
dei gruppi del piano 19
20
Gruppi del piano
La combinazioni delle simmetrie del punto
con i cinque possibili reticoli genera
17 gruppi del piano
Nelle prossime diapositive vedremo alcuni
esempi di disposizioni simmetriche di oggetti
nel piano, tratti da opere di M.C. Esher (un
mito, per chi studia le simmetrie;) e da
pitture o intarsi di varie epoche e paesi.
•
Pittura egizia 21
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Atreyu di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Cristallografia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Pisa - Unipi o del prof Bonaccorsi Elena.
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