Esercizio svolto su parallelogrammi e rombi con utilizzo dei criteri di similitudine e Pitagora

In questi appunti troverai un esercizio svolto attraverso l'impiego del teorema di Pitagora e dei criteri di similitudine dei triangoli riguardante i rombi

Traccia dell'esercizio sui rombi con calcolo del perimetro e dell'area

In un rombo

ciascun lato misura

e l'angolo in

ha ampiezza

.

Prendere sui lati

,

,

e

del rombo rispettivamente i punti

,

,

e

in modo che i segmenti

,

,

e

misurino

ciascuno, calcolare il perimetro e l'area del quadrilatero

, dopo aver dimostrato che esso è un parallelogramma.

Come dimostrare che una figura sia un quadrilatero

Per prima cosa, dimostriamo che il quadrilatero

è un parallelogramma; per farlo, dobbiamo dimostrare che abbia I lati opposti congruenti. Analizziamo i dati che abbiamo:

perché sono tutti lati di un rombo.

come indicato dalla traccia.

Possiamo ricavare quindi, per differenza, le misure dei segmenti :

Inoltre possiamo affermare che

perché sono angoli opposti di un rombo e in particolare

. Infine,

perché angoli opposti di un rombo;

Prendiamo in considerazione I triangoli

e

. Essi hanno:

• [math] \bar{PB}=\bar{SD} = 10 cm[/math]
• [math] \bar{BQ}=\bar{DT} = 2 cm[/math]
• [math] \hat{B}= \hat{D} = 120° cm[/math]

Avendo due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti, I triangoli

e

sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli.

Di conseguenza,

, poiché sono lati opposti a angoli congruenti.

Abbiamo dimostrato, quindi, che due lati opposti del quadrilatero

sono congruenti. Con un procedimento analogo, considerando i triangoli

e

, si dimostra che anche gli altri due lati opposti sono congruenti. Queste informazioni sono sufficienti per affermare che il quadrilatero in questione è un parallelogramma.

Come determinare il perimetro del parallelogramma

Per determinare il perimetro del parallelogramma, cerchiamo per prima cosa di determinare la lunghezza del lato

. Tracciamo da

la perpendicolare al lato

del rombo.

Consideriamo i triangoli

e

. Essi hanno:

• [math] \hat{AOD}=\hat{AKT}[/math]
  perché entrambi angoli retti
• [math] \hat{PAT}=\hat{ADO} = 60°[/math]

Quindi, per il primo criterio di similitudine dei triangoli

e

sono simili.
Possiamo affermare, quindi, che i loro lati sono in proporzione:

Sapendo che l'angolo

misura

e che l'angolo

ne misura

, possiamo affermare che il triangolo

è equilatero, poiché ha gli angoli di

. Avendo il suo lato, possiamo ricavare la sua altezza, cioè il segmento

:

che possiamo scrivere come

. Quindi:

Poiché il triangolo

è rettangolo e sappiamo che

e

, con il teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del cateto

:

Possiamo trovare la lunghezza del segmento

:

Poiché anche il triangolo

è rettangolo e sappiamo che

e

, con il teorema di Pitagora possiamo determinare la lunghezza del lato

:

Per trovare la lunghezza dell'altra coppia di lati del parallelogramma, dobbiamo seguire un procedimento analogo tracciando da

la perpendicolare al lato

del rombo:

Consideriamo il triangolo

. Sapendo che l'angolo

misura

, possiamo affermare che l'angolo

misura

, poiché insieme all'angolo

forma un angolo piatto. Di conseguenza, il triangolo

è simile al triangolo

.

Essi hanno:

• [math] \hat{AOD}=\hat{AKT}[/math]
  perché entrambi angoli retti
• [math] \hat{PAT}=\hat{ADO} = 60°[/math]

Quindi, per il primo criterio di similitudine dei triangoli,

e

sono simili.
Possiamo affermare, quindi, che i loro lati sono in proporzione:

Possiamo quindi mettere i loro lati in proporzione:

Determiniamo ora la lunghezza del segmento

con il teorema di Pitagora, sapendo che il triangolo

è rettangolo:

Troviamo ora la lunghezza del segmento

:

Determiniamo ora la lunghezza del lato

con il teorema di Pitagora, sapendo che il triangolo

è rettangolo:

Calcoliamo quindi il perimetro del parallelogramma

:

Come determinare l'area del parallelogramma partendo dall'altezza e dalla base dei triangoli

Per determinare l'area del parallelogramma, procediamo determinando prima l'area del rombo e poi sottraendogli l'area dei triangoli

,

,

e

.

Determiniamo l'area del triangolo

, congruente a

.

La sua altezza, che cade fuori dal triangolo, è il segmento

, mentre la sua base è

. La sua area sarà quindi:

Calcoliamo ora l'area del triangolo

, congruente a

.

La sua altezza, che cade anch'essa fuori dal triangolo, è il segmento

, mentre la sua base è

. La sua area sarà quindi:

Troviamo ora l'area del parallelogramma:

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo dell'area dei parallelogrammi vedi anche qui