Problema sulla similitudine, Pitagora, Euclide

In questo appunto si presenta la risoluzione di un problema di geometria, con delle note a margine ove si può osservare un disegno della situazione.

Testo dell'esercizio

Data una circonferenza di centro e diametro , condurre per una semiretta che intersechi ulteriormente la circonferenza in e in la retta tangente a in .
Sia la proiezione di su tale retta tangente, rispondere alle seguenti domande.

• Dimostrare che
  [math] ACB, CHT, BHC [/math]
  sono simili;
• Sapendo che
  [math] CB = 1 cm [/math]
  ,
  [math] AB = \frac{5}{3} cm [/math]
  , determinare
  [math]AC[/math]
  ;
• Determinare le misure dei lati di
  [math] CHT [/math]
  e
  [math] BHC [/math]
  .

Soluzione dell'esercizio

Per il primo punto, è noto dalla dimostrazione del Teorema di Euclide che, in un triangolo rettangolo, sono simili il triangolo rettangolo "di partenza" e gli altri due triangoli che si creano proiettando il vertice sull'ipotenusa.
Fatta questa premessa, possiamo concludere che sono simili perché l'angolo è retto.
Per collegare tali similitudini alla similitudine del triangolo basti notare che il triangolo è simile al triangolo per il teorema di Talete, dunque al triangolo è simile anche il triangolo perché hanno entrambi un angolo retto e un angolo in comune.
Di conseguenza, per la proprietà transitiva, sono tutti e tre simili.
Per il secondo punto, bisogna utilizzare il teorema di Pitagora, infatti chiede di trovare il terzo lato del triangolo noti l'ipotenusa e uno dei cateti.
Si ha quindi:
Per il terzo punto, ricordiamo ciò che ci siamo detti al primo punto: i tre triangoli sono simili dunque se riusciamo a trovare anche solo un lato di e , siamo in grado di ricavare gli altri tramite proporzione.
Osserviamo, dalla figura, che il segmento è uguale all'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo , calcoliamola!
dove l'area è stata calcolata tramite prodotto dei cateti diviso poi per 2, l'effetto della divisione per 2 sparisce successivamente perché nella formula è richiesto di moltiplicare l'area per 2.
Quindi si ottiene che .
Troviamo ora gli altri lati, a partire da .
Data la similitudine, vale la proporzione seguente:
.
Troviamo ora il lato , utilizzando il Secondo Teorema di Euclide applicato al triangolo . Si ha:
Resta solo un lato, il lato , possiamo trovarlo utilizzando il Teorema di Pitagora applicato al triangolo , in effetti abbiamo i due cateti. Vale quindi: