Esempi di problemi sul fascio di circonferenze
Esempio 1: Trovare gli elementi fondamentali di un fascio di circonferenzeDato il fascio
[math] \displaystyle \Phi: ky^2+y^2+kx^2+x^2-ky+\frac{x}{20}-\frac{21}{20}-kx+\frac{y}{20} = 0 [/math]
, vogliamo trovare le equazioni delle generatrici [math] \displaystyle \Gamma_1 [/math]
e [math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
, quelle dell'asse radicale e della retta dei centri ed anche le coordinate dei punti base. Un esercizio del genere si risolve in maniera standard; in primo luogo bisogna separare da una parte e dall'altra dell'uguale i termini con e senza il parametro k, quindi metterlo in evidenza tra quelli che ce l'hanno:
[math] \displaystyle ky^2+kx^2-ky-kx = -y^2-x^2-\frac{x}{20}-\frac{y}{20}+\frac{21}{20} [/math]
[math] \displaystyle k(y^2+x^2-y-x) = -\Big(x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} \Big) [/math]
[math] \displaystyle k(y^2+x^2-y-x) = \Big(x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} \Big) [/math]
Otteniamo così l'equazione del fascio scritta come combinazione di due circonferenze con il parametro k. Esse sono le generatrici del fascio: se impostiamo k=0 otteniamo la prima generatrice
[math] \displaystyle \Gamma_1 [/math]
, mentre l'altra è la seconda generatrice [math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
. Dunque
[math] \displaystyle \Gamma_1: x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} = 0 \, \, \, \, , \, \, \, \, \Gamma_2: x^2+y^2-x-y=0 [/math]
L'asse radicale si può trovare sempre imponendo k = 1. In questo caso i calcoli ci danno
[math] \displaystyle -(x^2+y^2-x-y)+\Big(x^2+y^2+\frac{x}{20}+\frac{y}{20}-\frac{21}{20} \Big) = [/math]
[math] \displaystyle = 0 \rightarrow \frac{x}{20} + \frac{y}{20} - \frac{21}{20} + x + y = 0 [/math]
[math] \displaystyle r: x+y-1 = 0 [/math]
Con l'asse radicale e le generatrici è facile trovare i punti base; in questo caso calcoleremo l'intersezione di
[math] r [/math]
e [math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
, poiché la sua equazione è più semplice di quella di [math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
. Così
[math] \displaystyle \begin{cases} r \\ \Gamma_2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} y=1-x \ x^2+(1-x)^2-x-(1-x)=0 \end{cases} \rightarrow [/math]
[math] \displaystyle \rightarrow \begin{cases} y=1-x \\ 2x^2-2x=0 \end{cases} \rightarrow\begin{cases} y=1-x \\ x=0, x=1 \end{cases} \rightarrow [/math]
Esistono perciò due punti base: il punto A(0,1) e il punto B(1,0). Per calcolare adesso la retta dei centri si può procedere in più modi diversi: potremmo ad esempio trovare prima i centri di
[math] \displaystyle \Gamma_1 [/math]
e [math] \displaystyle \Gamma_2 [/math]
, quindi considerare l'unica retta che passa per l'uno e l'altro punto; oppure potremmo sfruttare la nostra conoscenza del fatto che la retta dei centri è ortogonale all'asse radicale e passa per il punto medio di AB. Seguendo questo secondo metodo avremo
[math] \displaystyle M = \frac{A+B}{2} \rightarrow M\Big(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\Big) \, \, \, \, , \, \, \, \, m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{-1} = 1 [/math]
cosicché la retta dei centri è l'unica retta di coefficiente angolare m = 1 passante per M:
[math] \displaystyle y - y_M = m(x-x_M) \rightarrow y=\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2} \rightarrow y = x [/math]
Esempio 2: Trovare il fascio avente dei punti base assegnati
Fissati i due punti A(0,2) e B(-12,0), siamo interessati a trovare il fascio di circonferenze avente A e B come punti base. Cominciamo dal considerare che, per appartenere al nostro fascio, una generica circonferenza
[math] \displaystyle \Gamma: x^2+y^2+\alpha x + \beta y + \Gamma = 0 [/math]
dovrà certamente passare per A e B, quindi soddisfare
[math] \displaystyle \begin{cases} 4+2\beta+\Gamma = 0 \\ \frac{1}{4}-\frac{\alpha}{2}+\Gamma = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} \alpha = 2\Gamma + \frac{1}{2} \\ \beta = -\frac{\Gamma}{2} - 2 \end{cases} [/math]
Per tale motivo
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
dovrà essere scritta come [math] \displaystyle x^2+y^2+\Big(2\Gamma + \frac{1}{2} \Big)x+\Big(-\frac{\Gamma}{2}-2 \Big)y + \Gamma = 0 [/math]
; al variare di [math] \displaystyle \Gamma \in \mathbb{R} [/math]
, questa equazione descrive tutte e sole le circonferenze appartenenti al nostro fascio: per scrivere l'equazione di [math] \displaystyle \Phi [/math]
basta perciò scegliere due qualsiasi di queste circonferenze e considerarle come generatrici del fascio. Ecco allora che, presi due valori a caso di [math] \displaystyle \Gamma [/math]
come ad esempio [math] \displaystyle \Gamma = 0, \Gamma = 1 [/math]
, avremo
[math] \displaystyle \Phi: x^2+y^2+\frac{x}{2}-2y+k\Big(x^2+y^2+\frac{5}{2}x-\frac{5}{2}y+1 \Big) = 0 [/math]
che è una delle possibili equazioni del nostro fascio.
Esempio 3: Trovare il fascio avente fissati punto base e retta tangente
Supponiamo adesso di avere la retta
[math] \displaystyle r: y = \frac{x+1}{2} [/math]
e il punto P(1,1) ad essa appartenente; quel che vogliamo fare è trovare l'equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta r nel punto P. Dalle nostre conoscenze teoriche sui fasci di circonferenze sappiamo che la retta r dovrà necessariamente essere l'asse radicale del fascio, e il punto P ne sarà l'unico punto base. È dunque facile calcolare la retta dei centri, poiché essa è l'unica retta per P che sia perpendicolare a r:
[math] \displaystyle y-y_T = -\frac{1}{m_r}(x-x_T) \rightarrow y=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}(x-1) = [/math]
[math] \displaystyle 1-2(x-1) = 3 - 2x [/math]
La retta dei centri del fascio è quindi
[math] y=3-2x [/math]
. Chiamiamo [math] C_1 [/math]
e [math] C_2 [/math]
due punti a caso di tale retta; considerando le circonferenze di raggi [math] \displaystyle C_1T [/math]
e [math] \displaystyle C_2T [/math]
e centri rispettivamente [math] C_1 [/math]
e [math] C_2 [/math]
avremo a disposizione due generatrici per il nostro fascio. Per facilitare i calcoli conviene prendere [math] \displaystyle x_1 = 0, x_2 = 2 [/math]
; queste scelte ci consentono di ottenere
[math] \displaystyle C_1(0,3) \, \, \, , \, \, \, C_2(2,-1) \rightarrow C_1T = \sqrt{(-1)^2+2^2} = \sqrt{5} \, \, \, , \, \, \, [/math]
[math] C_2T=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5} [/math]
[math] \displaystyle \Gamma_1: (x-0)^2+(y-3)^2=5 \rightarrow x^2+y^2-6y+4 = 0 [/math]
[math] \displaystyle \Gamma_2: (x-2)^2 + (y+1)^2 = 5 \rightarrow x^2+y^2-4x+2y = 0 [/math]
Con queste due generatrici, l'equazione del fascio
[math] \displaystyle \Phi [/math]
sarà semplicemente
[math] \displaystyle \Phi: x^2+y^2-6y+4+k(x^2+y^2-4x+2y) = 0 [/math]
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