Problemi ricorrenti sulla parabola

Esempi di problemi sulla parabola

Esempio 1: Trovare il vertice, il fuoco, la retta direttrice e l’asse di simmetria della parabola di equazione

[math]y=\frac{1}{4}x^2+x+2 [/math]

.

Per risolvere questo problema basta solo applicare le formule note riguardo le parabole; in particolare in questo caso, visto che la parabola è della forma (

), servono quelle relative alle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse ?. Dunque diremo prima di tutto che , e poi calcoleremo

Esempio 2: Trovare l’equazione della parabola avente fuoco

e direttrice

[math] x=-1 [/math]

.

Dal momento che la direttrice è una retta parallela all’asse delle ?, l’asse di simmetria della parabola cercata sarà parallelo all’asse delle ascisse; poiché inoltre ? non appartiene a ?, il problema ammette una soluzione non degenere. Ricordando che in questo caso risulta

abbiamo subito tre equazioni da mettere a sistema:

Dal confronto della prima e della terza ricaviamo immediatamente che

e . Quindi dalla seconda scriveremo che , e siccome , concluderemo che . L’equazione ricercata è allora .

Esempio 3: Trovare l’equazione della parabola avente fuoco

e vertice

[math] V\Big(7, \frac{1}{2} \Big) [/math]

.

È noto che una delle proprietà dell’asse di simmetria di una parabola è di passare sia per il suo vertice che per il suo fuoco. Calcolando la retta ?? otterremo perciò facilmente che l’asse di simmetria è

, una retta parallela all’asse ?; ciò significa che la parabola avrà forma , e non ci resta che trovarne i tre parametri. Mettiamo a sistema le informazioni note, come nel caso dell’esempio 2:

Dalla seconda e dalla terza equazione ricaviamo che

. Ciò sostituito nella prima equazione ci dice che ?=−7, e dall’equazione del ricaviamo ?:

Esempio 4: Trovare una parabola che passa per tre punti fissati ?,?,?.

La risoluzione di questo problema non è tanto semplice come nel caso della circonferenza per tre punti, ma occorre invece distinguere più casi. In primo luogo, se ?,? e ? fossero allineati, certamente non vi sarebbe alcuna parabola che li attraversa tutti e tre: dunque prima di tutto bisogna calcolare l’equazione della retta ??, e sincerarsi che ? non le appartenga, poiché solo in questo caso il problema può avere soluzione.

Supponiamo ora che due dei punti dati, per fissare le idee diremo ? e ?, abbiano la stessa ascissa. Poiché una parabola con asse parallelo alle ordinate è una funzione di ?, di sicuro non apparterranno al suo grafico due punti verticalmente allineati come ? e ?; dunque se una parabola per ?, ? e ? esiste, in questo caso sarà con asse orizzontale. Similmente se due dei punti, diciamo ? e ?, condividono l’ordinata, non esisterà alcuna parabola con asse orizzontale che passa per ?, ? e ? contemporaneamente, ma potrebbe esisterne una con asse parallelo alle ordinate. Ne consegue che se i punti ?, ? e ? sono i vertici di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi coordinati, il che significa che una coppia di punti ha la stessa ascissa e una coppia di punti ha la stessa ordinata, non esisteranno parabole per ?, ?, ? nè ad asse verticale, nè ad asse orizzontale; neanche in questo caso il problema ha soluzione.

Se però ?, ?, ? non sono allineati e hanno coordinate tutte distinte, esistono esattamente due diverse parabole che li attraversano tutti e tre: una ad asse verticale e una ad asse orizzontale.

Esempio 5: Trovare le equazioni della parabole passanti per ?(?,?), ?(−?,?) e ?(?,?).

Come discusso nell’esempio 4, per prima cosa controlleremo che i tre punti non giacciano tutti sulla stessa retta. Dal momento che la retta ?? ha equazione

, certamente ? non le appartiene, e quindi i tre punti non sono allineati. Però è anche evidente che ? e ? hanno la stessa ordinata, e quindi di certo non esiste alcuna parabola ad asse orizzontale che sia soluzione del nostro problema: la parabola avrà forma .

Per trovare i tre parametri ?,?,? non resta che scrivere e risolvere il sistema costituito dalle condizioni di appartenenza di ?,? e ? a (

):

Cosicché

.

Altro materiale di supporto

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