Coefficiente angolare di una retta: equazioni e definizioni di geometria analitica

In questo appunto è spiegato il significato "pratico" e matematico del coefficiente angolare, con un focus sui casi particolari (riguardanti una o retta o coppie di rette). Alla fine della pagina è possibile trovare anche alcuni semplici esercizi svolti.

Cos'è il coefficiente angolare

Supponiamo di considerare una retta, posizionata su un piano cartesiano

.

Dal punto di vista teorico, la retta è definita come un insieme di punti, di cui non è possibile tracciare né un inizio né una fine, disposti tutti nella medesima direzione. In termini matematici, grazie all'ausilio di due parametri

e

, è possibile definire un'equazione che la descriva, ossia:

, dove:

• [math]m[/math]
  è il coefficiente angolare
• [math]c[/math]
  è il valore dell'intercetta

Il coefficiente angolare può assumere sia un valore positivo che un valore negativo. In particolare:

• un coefficiente angolare positivo indica una pendenza positiva, ossia una retta cui punti presentano, per valori relativi all'asse x crescenti, valori relativi all'asse y crescenti
• un coefficiente angolare negativo indica una pendenza negativa, ossia una retta cui punti presentano, per valori relativi all'asse x crescenti, valori relativi all'asse y decrescenti

Per quanto riguarda l'intercetta, invece, essa rappresenta l'ordinata del punto di intersezione tra la retta e l'asse delle y. Anch'essa può essere positiva o negativa, in relazione alla posizione del punto di intersezione.

Come si calcola il coefficiente angolare

Per calcolare il coefficiente angolare di una retta bisogna valutare l'equazione della retta stessa e, in particolare, se questa è espressa in forma implicita oppure in forma esplicita.
La forma

è detta forma esplicita, mentre

è detta forma implicita. E' possibile passare in modo agevole dalla forma implicita a quella esplicita isolando la y all'altro membro dell'equazione, cambiandola di segno e dividendo entrambi i membri per

.
Si può dire che:

• il coefficiente angolare di una retta di equazione
  [math]y= mx+q[/math]
  è
  [math]m[/math]
• il coefficiente angolare di una retta di equazione
  [math]ax+by+c=0[/math]
  è
  [math]m=-\frac{a}{b}[/math]
• Il coefficiente angolare di una retta corrisponde alla tangente dell'angolo formato dalla retta con l'asse delle x. La tangente dell'angolo
  [math]a[/math]
  non è altro che il rapporto
  [math]\frac{sen(a)}{cos(a)}[/math]

Casi particolari del calcolo del coefficiente angolare

Ci sono alcuni casi per cui, grazie alla presenza di alcune caratteristiche delle rette prese in esame, è possibile semplificare il calcolo del coefficiente angolare. Cioè:

• se una retta passa per l'origine (cioè ha intercetta nulla) è
  [math]\frac{y}{x}[/math]
• l'asse x (ascissa) e le rette a essa parallele hanno coefficiente angolare nullo
• le rette parallele all'asse delle y (ordinate) non hanno coefficiente angolare definito

Inoltre è possibile dire, in presenza di due rette, che:

• se le due rette sono parallele, ossia se appartengono allo stesso piano e restano sempre alla stessa distanza, presentano uguale coefficiente angolare
• se le due rette sono perpendicolari, cioè se si intersecano in un unico punto formando un angolo di
  [math]90°[/math]
  , i due coefficienti angolari sono uno l'antireciproco dell'altro. Ciò significa che, definito
  [math]m_1[/math]
  il coefficiente angolare di una retta e
  [math]m_2[/math]
  il coefficiente angolare dell'altra retta, accade che:
  [math]m1=\frac{-1}{m2}[/math]

Ciò significa che, se l'equazione della retta

è

, tutte le rette ad essa parallele presentano un coefficiente angolare di

, mentre le rette perpendicolari hanno coefficiente

Esempi di verifica relativi al caso generale

Supponiamo di avere una retta di equazione

. In questo caso, poiché l'equazione è in forma esplicita, il coefficiente angolare è 4 e l'intercetta 2.
Se, invece, abbiamo un'equazione in forma implicita, come

, il coefficiente angolare è pari a

Esercizio di potenziamento con proposta di risoluzione

Data la retta

, definita dall'equazione

, scrivi l'equazione di due rette parallele e di due rette perpendicolari a Q. Per ogni coppia, almeno una delle due rette deve passare per l'origine degli assi.

Risoluzione dell'esercizio

Data la retta Q

, per definire due rette parallele dobbiamo scrivere due rette con lo stesso coefficiente angolare. Per ottenere due rette perpendicolari, invece, bisogna scrivere due rette con coefficiente angolare pari all'antireciproco della retta Q. Infine, affinché almeno una delle due passi per l'origine degli assi, è necessario imporre

.

Quindi le due rette parallele sono:

• [math]y=20x+1[/math]
  e
  [math]y=20x[/math]
• mentre le due rette perpendicolari sono
  [math]: y=-1/20x+4[/math]
  e
  [math]y=-1/20x +2[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul coefficiente angolare vedi anche qua