Geometria analitica: Nel fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 - (k + 3) x + (k - 1) y - k - 3 = 0 Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni: ....

di _francesca.ricci

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Nel fascio di circonferenze di equazione

[math] x^2 + y^2 - (k + 3) x + (k - 1) y - k - 3 = 0 [/math]

Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni:

Hanno raggio uguale a 4;
Hanno il centro appartenente alla retta
[math]x = 3[/math]
;
Hanno il centro appartenente alla retta
[math]x + 2y + 1 = 0 [/math]
;
Staccano sulla retta
[math]y = 1 [/math]
una corda di lunghezza
[math] \sqrt{37}[/math]
;
Non hanno punti in comune con l'asse
[math]x[/math]
.

Svolgimento (1)

La formula per determinare il raggio di una circonferenza è la seguente:

[math] r = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 - c} [/math]

Troviamo quindi il valore del raggio in funzione di

[math]k[/math]

[math] r = \sqrt{ \frac{k + 3}{2}^2 + \left( \frac{k - 1}{2} \right)^2 - (-k - 3)} = \sqrt{ \frac{k^2 + 9 + 6k}{4} + \frac{k^2 + 1 - 2k}{4} + k + 3}[/math]

[math] \sqrt{\frac{k^2 + 9 + 6k + k^2 + 1 - 2k + 4k + 12}{4}} = \sqrt{\frac{2k^2 + 8k + 22}{4}}[/math]

[math] \sqrt{\frac{2 (k^2 + 4k + 11)}{4}} = \sqrt{\frac{k^2 + 4k + 11}{2}} [/math]

Sapendo che dobbiamo trovare le circonferenze che hanno raggio uguale a 4, poniamo il raggio trovato in funzione di k uguale a quattro:

[math] \sqrt{\frac{k^2 + 4k + 11}{2}} = 4 [/math]

Risolviamo l'equazione ponendo prima le condizioni di esistenza:

[math] C.E. [/math]

[math] k^2 + 4k + 11 >= 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] k^2 + 4k + 11 = 0 [/math]

[math] k = \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{4}{2} \right)^2 - 11} = -2 \pm \sqrt{4 - 11} [/math]

Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l'equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di k.

[math] \sqrt{\frac{k^2 + 4k + 11}{2}} = 4 [/math]

[math] \left( \sqrt{\frac{k^2 + 4k + 11}{2}} \right)^2 = 4^2 [/math]

[math] \frac{k^2 + 4k + 11}{2} = 16 [/math]

[math] k^2 + 4k + 11 = 32 [/math]

[math] k^2 + 4k + 11 - 32 = 0 [/math]

[math] k^2 + 4k - 21 = 0 [/math]

[math] k = \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{4}{2} \right)^2 - (-21)} = -2 \pm \sqrt{4 + 21} = -2 \pm \sqrt{25} = -2 \pm 5 [/math]

[math] k = -2 + 5 = 3 ? k = -2 - 5 = -7 [/math]

Sostituiamo questi valori di

[math]k[/math]

all'equazione del fascio per determinare le equazioni delle circonferenze da noi cercate:

[math] k = 3 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (3+3)x + (3- 1)y - 3 - 3 = 0 [/math]

[math] C_1 : x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 [/math]

[math] k = - 7 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (- 7+3)x + ( - 7 - 1)y - (-7) - 3 = 0 [/math]

[math] C_2 : x^2 + y^2 + 4x - 8y + 4 = 0 [/math]

Svolgimento (2)

Troviamo ora le circonferenze che hanno centro appartenente alla retta

[math]x = 3[/math]

. Il centro della circonferenza ha coordinate

[math] ( - a/2 ; - b/2) [/math]

, quindi il centro in funzione di

[math]k[/math]

sarà:

[math] C ( - \frac{- (k+3)}{2} ; - \frac{k-1}{2} ) \to C ( \frac{k + 3}{2} \quad \text{e} \quad \frac{1 - k}{2} ) [/math]

Sapendo che appartiene alla retta

[math]x = 3[/math]

, sappiamo che l'ascissa del centro vale 3, quindi possiamo porre che:

[math] \frac{k + 3}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad k + 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad k = 3[/math]

Notiamo che questo valore di k è uguale a quello del punto precedente, quindi anche l'equazione della circonferenza sarà la stessa:

[math] k = 3 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (3+3)x + (3- 1)y - 3 - 3 = 0 [/math]

[math] C_3 : x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 [/math]

Svolgimento (3)

Allo stesso modo, determiniamo le circonferenze il cui centro appartiene alla retta

[math] x + 2y + 1 = 0 [/math]

. Sappiamo che se un punto appartiene ad una retta, le sue coordinate, se sostituite alle variabili della retta, portano ad un'identità.

Per poter trovare il valore di k desiderato, sostituiamo le coordinate del centro generale del fascio all'equazione della retta:

[math] \left( \frac{k + 3}{2}, \frac{1 - k}{2} \right) \quad ? \quad x + 2y + 1 = 0 [/math]

[math] \frac{k+3}{2} + 2 \cdot \frac{1-k}{2} +1 = 0 [/math]

Risolviamo equazione:

[math] \frac{k + 3}{2} + 1 - k + 1 = 0 [/math]

[math] \frac{k + 3}{2} - k + 2 = 0 [/math]

[math] k+3 - 2k +4 = 0 [/math]

[math] - k + 7 = 0 \to k = 7 [/math]

Sostituiamo questo valore di

[math]k[/math]

all'equazione del fascio:

[math] k = - 7 [/math]

[math] x^2 + y^2 - ( 7+3)x + ( 7 - 1)y - 7 - 3 = 0 [/math]

[math] C_4 : x^2 + y^2 - 10x + 6y - 10 = 0 [/math]

Svolgimento (4)

Sappiamo che le circonferenze che staccano sulla retta

[math] y = 1 [/math]

una corda hanno due punti in comune con la retta, cioè il sistema fra la circonferenza in questione e la retta ha due soluzioni reali distinte. Questi due punti distano fra loro

[math] \sqrt{37}[/math]

Impostiamo quindi il sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
y = 1 &\
x^2 + y^2 - (k+3)x + (k-1)y - k - 3 = 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Sostituendo la prima equazione nella seconda:

[math] x^2 + 1^2 - (k+3)x + (k-1) \cdot 1 - k - 3 = 0 [/math]

[math] x^2 + 1 - kx - 3x + k - 1 - k - 3 = 0 [/math]

[math] x^2 - kx - 3x - 3 = 0 [/math]

[math] x^2 + (- k- 3) x - 3 = 0 [/math]

Troviamo le due soluzioni:

[math] x = \frac{k + 3 \pm \sqrt{(k + 3)^2 - 4 \cdot (-3)}}{2} = \frac{k + 3 \pm \sqrt{k^2 + 9 + 6k + 12}}{2}[/math]

[math] \frac{k + 3 \pm \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2} [/math]

Abbiamo quindi due punti, entrambi di ordinata 1 (perché appartenenti alla retta

[math]y=1[/math]

) e di ascissa:

[math] x_1 = \frac{k + 3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2}, \quad x_2 = \frac{k + 3 - \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2} [/math]

Possiamo determinare la distanza fra questi due punti sottraendo l'ascissa più piccola a quella più grande:

[math] d(x_1, x_2) = x_1 - x_2 = \frac{k + 3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2} - \frac{k + 3 - \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2}[/math]

[math] \frac{k + 3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21} - (k + 3 - \sqrt{k^2 + 6k + 21})}{2} [/math]

[math] \frac{k + 3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21} - (k - 3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21})}{2}[/math]

[math] \frac{\sqrt{k^2 + 6k + 21} + \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2}[/math]

[math]\frac{2 \sqrt{k^2 + 6k + 21}}{2} = \sqrt{k^2 + 6k + 21}[/math]

Poniamo questa distanza uguale a

[math]\sqrt{37}[/math]

[math] \sqrt{k^2 + 6k + 21} = \sqrt(37) [/math]

Determiniamo le condizioni di esistenza:

[math] C.E. [/math]

[math] k^2 + 6k + 21 >= 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] k^2 + 6k + 21 = 0 [/math]

[math] k = \frac{-6/2 \pm \sqrt{(6/2)^2 - 21}}{1} = -3 \pm \sqrt(9 - 21) [/math]

Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l'equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di

[math]k[/math]

[math] \sqrt{k^2 + 6k + 21} = \sqrt(37) [/math]

[math] (\sqrt{k^2 + 6k + 21})^2 = (\sqrt(37))^2 [/math]

[math] k^2 + 6k + 21 = 37 [/math]

[math] k^2 + 6k + 21 - 37 = 0 [/math]

[math] k^2 + 6k - 16 = 0 [/math]

[math] k = \frac{-6/2 \pm \sqrt{(6/2)^2 - (16)}}{1} = -3 \pm \sqrt(9 + 16) = [/math]

[math] -3 \pm \sqrt{25} = -3 \pm 5 [/math]

[math] k = -5 + 5 = 2 ? k = -3 - 5 = -8 [/math]

Sostituiamo i valori all'equazione del fascio:

[math] k = 2 [/math]

[math] x^2 + y^2 - ( 2+3)x + (2 - 1)y - 2 - 3 = 0 [/math]

[math] C_4 : x^2 + y^2 - 5x + y - 5 = 0 [/math]

[math] k = - 8 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (-8+3)x + ( -8 - 1)y - (-8) - 3 = 0 [/math]

[math] C_5 : x^2 + y^2 + 5x - 9y + 5 = 0 [/math]

Svolgimento (5)

Troviamo ora le circonferenze che non hanno punti in comune con l'asse x. Non essendoci punti in comune, l'intersezione fra la circonferenza e l'asse x darà un insieme vuoto.

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
y = 0 &\
x^2 + y^2 - (k+3)x + (k-1)y - k - 3 = 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Sostituendo la prima equazione nella seconda:

[math] x^2 + 0^2 - (k+3)x + (k-1) \cdot 0 - k - 3 = 0[/math]

[math] x^2 - (k+3)x - k - 3 = 0[/math]

Utilizziamo la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:

[math] x = \frac{k+3 ? \pm \sqrt{(k+3)^2 - 4(-k-3)}}{2} [/math]

Affinché il sistema non abbia soluzioni, poniamo il delta minore di zero:

[math](k+3)^2 - 4(-k-3) > 0 [/math]

[math] k^2 + 9 + 6k + 4k + 12 > 0 [/math]

[math] k^2 + 10k + 21 > 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata:

[math] k^2 + 10k + 21 = 0 [/math]

[math] k = \frac{-(10)/2 A \pm \sqrt{(-(10)/2)^2 - 21}}{1} = -5 A \pm \sqrt(25 - 21) = -5 A \pm 2 [/math]

[math] k = -5 + 2 = - 3 ? k = - 5 - 2 = - 7 [/math]

Poiché la disequazione è minore di zero, sarà risolta per valori interni alle radici:

[math] S : - 7 > k > - 3 [/math]

Di conseguenza, tutte le circonferenze date da un qualunque k comprese nell'intervallo trovato non hanno punti in comune con l'asse x.

Geometria analitica: Nel fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 - (k + 3) x + (k - 1) y - k - 3 = 0 Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni: ....