Geometria analitica: Nel fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 - (k + 3) x + (k - 1) y - k - 3 = 0 Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni: ....

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Nel fascio di circonferenze di equazione

[math] x^2 + y^2 - (k + 3) x + (k - 1) y - k - 3 = 0 [/math]
Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni:
Hanno raggio uguale a 4;

Hanno il centro appartenente alla retta
[math]x = 3[/math]
;

Hanno il centro appartenente alla retta
[math]x + 2y + 1 = 0 [/math]
;

Staccano sulla retta
[math]y = 1 [/math]
una corda di lunghezza
[math] \sqrt{37}[/math]
;

Non hanno punti in comune con l'asse
[math]x[/math]
.

Svolgimento (1)
La formula per determinare il raggio di una circonferenza è la seguente:

[math] r = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 - c} [/math]
Troviamo quindi il valore del raggio in funzione di
[math]k[/math]
:

[math] r = \sqrt{(- frac(k+3)(2))^2 + (frac(k-1)(2))^2 - (- k - 3)} = \sqrt( frac(k^2+ 9 + 6k )(4) + frac(k^2 + 1 - 2k)(4) + k + 3) = [/math]

[math] \sqrt{ frac(k^2+ 9 + 6k + k^2 + 1 - 2k + 4k + 12)(4)} = \sqrt(frac( 2k^2 + 8k + 22 )(4)) = [/math]

[math] \sqrt{frac( 2 (k^2 + 4k + 11) )(4)} = \sqrt(frac( k^2 + 4k + 11 )(2)) [/math]
Sapendo che dobbiamo trovare le circonferenze che hanno raggio uguale a 4, poniamo il raggio trovato in funzione di k uguale a quattro:

[math] \sqrt{frac( k^2 + 4k + 11 )(2)} = 4 [/math]
Risolviamo l'equazione ponendo prima le condizioni di esistenza:

[math] C.E.
[/math]

[math] k^2 + 4k + 11 >= 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata:

[math] k^2 + 4k + 11 = 0 [/math]

[math] k = frac(- 4/2 \pm \sqrt{(4/2)^2 - 11})(1) = - 2 \pm \sqrt(4 - 11) [/math]
Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l'equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di k.

[math] \sqrt{frac( k^2 + 4k + 11 )(2)} = 4 [/math]

[math] (\sqrt{frac( k^2 + 4k + 11 )(2)})^2 = 4^2 [/math]

[math] frac( k^2 + 4k + 11 )(2) = 16 [/math]

[math] k^2 + 4k + 11 = 32 [/math]

[math] k^2 + 4k + 11 - 32 = 0 [/math]

[math] k^2 + 4k - 21 = 0 [/math]

[math] k = frac(- 4/2 \pm \sqrt{(4/2)^2 - (-21)})(1) = -2 \pm \sqrt(4 + 21) = -2 \pm \sqrt(25) = -2 \pm 5 [/math]

[math] k = -2 + 5 = 3 âˆ¨ k = -2 - 5 = -7 [/math]
Sostituiamo questi valori di
[math]k[/math]
all'equazione del fascio per determinare le equazioni delle circonferenze da noi cercate:

[math] k = 3 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (3+3)x + (3- 1)y - 3 - 3 = 0 [/math]

[math] C_1 : x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 [/math]

[math] k = - 7 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (- 7+3)x + ( - 7 - 1)y - (-7) - 3 = 0 [/math]

[math] C_2 : x^2 + y^2 + 4x - 8y + 4 = 0 [/math]

Svolgimento (2)
Troviamo ora le circonferenze che hanno centro appartenente alla retta
[math]x = 3[/math]
. Il centro della circonferenza ha coordinate
[math] ( - a/2 ; - b/2) [/math]
, quindi il centro in funzione di
[math]k[/math]
sarà:

[math] C ( - frac(- (k+3))(2) ; - frac(k-1)(2) ) \to C ( frac(k+3)(2) ; frac(1-k)(2) ) [/math]
Sapendo che appartiene alla retta
[math]x = 3[/math]
, sappiamo che l'ascissa del centro vale 3, quindi possiamo porre che:

[math] frac(k+3)(2) = 3 \to k + 3 = 6 \to k = 3 [/math]
Notiamo che questo valore di k è uguale a quello del punto precedente, quindi anche l'equazione della circonferenza sarà la stessa:

[math] k = 3 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (3+3)x + (3- 1)y - 3 - 3 = 0 [/math]

[math] C_3 : x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 [/math]

Svolgimento (3)
Allo stesso modo, determiniamo le circonferenze il cui centro appartiene alla retta
[math] x + 2y + 1 = 0 [/math]
. Sappiamo che se un punto appartiene ad una retta, le sue coordinate, se sostituite alle variabili della retta, portano ad un'identità.
Per poter trovare il valore di k desiderato, sostituiamo le coordinate del centro generale del fascio all'equazione della retta:

[math] C ( frac(k+3)(2) ; frac(1-k)(2) ) âˆˆ x + 2y + 1 = 0 [/math]

[math] frac(k+3)(2) + 2 \cdot frac(1-k)(2) +1 = 0 [/math]
Risolviamo equazione:

[math] frac(k+3)(2) + 1 - k +1 = 0 [/math]

[math] frac(k+3)(2) - k +2 = 0 [/math]

[math] k+3 - 2k +4 = 0 [/math]

[math] - k + 7 = 0 \to k = 7 [/math]
Sostituiamo questo valore di
[math]k[/math]
all'equazione del fascio:

[math] k = - 7 [/math]

[math] x^2 + y^2 - ( 7+3)x + ( 7 - 1)y - 7 - 3 = 0 [/math]

[math] C_4 : x^2 + y^2 - 10x + 6y - 10 = 0 [/math]

Svolgimento (4)
Sappiamo che le circonferenze che staccano sulla retta
[math] y = 1 [/math]
una corda hanno due punti in comune con la retta, cioè il sistema fra la circonferenza in questione e la retta ha due soluzioni reali distinte. Questi due punti distano fra loro
[math] \sqrt{37}[/math]
.
Impostiamo quindi il sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
y = 1 &\
x^2 + y^2 - (k+3)x + (k-1)y - k - 3 = 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sostituendo la prima equazione nella seconda:

[math] x^2 + 1^2 - (k+3)x + (k-1) \cdot 1 - k - 3 = 0 [/math]

[math] x^2 + 1 - kx - 3x + k - 1 - k - 3 = 0 [/math]

[math] x^2 - kx - 3x - 3 = 0 [/math]

[math] x^2 + (- k- 3) x - 3 = 0 [/math]
Troviamo le due soluzioni:

[math] x = frac(k+3 \pm \sqrt{k+3}^2 - 4 \cdot (-3))(2) = frac(k+3 \pm \sqrt(k^2 + 9 + 6k + 12))(2) = [/math]

[math] frac(k+3 \pm \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) [/math]
Abbiamo quindi due punti, entrambi di ordinata 1 (perché appartenenti alla retta
[math]y=1[/math]
) e di ascissa:

[math] x_1 = frac(k+3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) , x_2 = frac(k+3 - \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) [/math]
Possiamo determinare la distanza fra questi due punti sottraendo l'ascissa più piccola a quella più grande:

[math] d( x_1 ; x_2 ) = x_1 - x_2 = frac(k+3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) - frac(k+3 - \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) = [/math]

[math] frac(k+3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21} - (k+3 - \sqrt{k^2 + 6k + 21}) )(2) = [/math]

[math] frac(k+3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21} - k-3 + \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) = [/math]

[math] frac(\sqrt{k^2 + 6k + 21} + \sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) = [/math]

[math] frac( 2\sqrt{k^2 + 6k + 21})(2) = \sqrt{k^2 + 6k + 21} [/math]
Poniamo questa distanza uguale a
[math]\sqrt{37}[/math]
:

[math] \sqrt{k^2 + 6k + 21} = \sqrt(37) [/math]
Determiniamo le condizioni di esistenza:

[math] C.E. [/math]

[math] k^2 + 6k + 21 >= 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata:

[math] k^2 + 6k + 21 = 0 [/math]

[math] k = frac(-6/2 \pm \sqrt{(6/2)^2 - 21})() = -3 \pm \sqrt(9 - 21) [/math]
Abbiamo un delta negativo, di conseguenza l'equazione associata è impossibile; la disequazione, invece, è maggiore di zero per qualunque valore di
[math]k[/math]
.

[math] \sqrt{k^2 + 6k + 21} = \sqrt(37) [/math]

[math] (\sqrt{k^2 + 6k + 21})^2 = (\sqrt(37))^2 [/math]

[math] k^2 + 6k + 21 = 37 [/math]

[math] k^2 + 6k + 21 - 37 = 0 [/math]

[math] k^2 + 6k - 16 = 0 [/math]

[math] k = frac(-6/2 \pm \sqrt{(6/2)^2 - (16)})(1) = -3 \pm \sqrt(9 + 16) = [/math]

[math] -3 \pm \sqrt{25} = -3 \pm 5 [/math]

[math] k = -5 + 5 = 2 âˆ¨ k = -3 - 5 = -8 [/math]
Sostituiamo i valori all'equazione del fascio:

[math] k = 2 [/math]

[math] x^2 + y^2 - ( 2+3)x + (2 - 1)y - 2 - 3 = 0 [/math]

[math] C_4 : x^2 + y^2 - 5x + y - 5 = 0 [/math]

[math] k = - 8 [/math]

[math] x^2 + y^2 - (-8+3)x + ( -8 - 1)y - (-8) - 3 = 0 [/math]

[math] C_5 : x^2 + y^2 + 5x - 9y + 5 = 0 [/math]

Svolgimento (5)
Troviamo ora le circonferenze che non hanno punti in comune con l'asse x. Non essendoci punti in comune, l'intersezione fra la circonferenza e l'asse x darà un insieme vuoto.

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
y = 0 &\
x^2 + y^2 - (k+3)x + (k-1)y - k - 3 = 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
Sostituendo la prima equazione nella seconda:

[math] x^2 + 0^2 - (k+3)x + (k-1) \cdot 0 - k - 3 = 0[/math]

[math] x^2 - (k+3)x - k - 3 = 0[/math]
Utilizziamo la formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado:

[math] x = frac(k+3 Â± \sqrt{(k+3)^2 - 4(-k-3)})(2) [/math]
Affinché il sistema non abbia soluzioni, poniamo il delta minore di zero:

[math](k+3)^2 - 4(-k-3) > 0 [/math]

[math] k^2 + 9 + 6k + 4k + 12 > 0 [/math]

[math] k^2 + 10k + 21 > 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata:

[math] k^2 + 10k + 21 = 0 [/math]

[math] k = frac(-(10)/2 Â± \sqrt{(-(10)/2)^2 - 21})(1) = -5 Â± \sqrt(25 - 21) = -5 Â± 2 [/math]

[math] k = -5 + 2 = - 3 âˆ¨ k = - 5 - 2 = - 7 [/math]
Poiché la disequazione è minore di zero, sarà risolta per valori interni alle radici:

[math] S : - 7 > k > - 3 [/math]
Di conseguenza, tutte le circonferenze date da un qualunque k comprese nell'intervallo trovato non hanno punti in comune con l'asse x.

Geometria analitica: Nel fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 - (k + 3) x + (k - 1) y - k - 3 = 0 Determinare quelle che soddisfano le seguenti condizioni: ....

Data l'equazione di un fascio di circonferenze, determinare quelle che soddisfano le condizioni fornite dal problema

Svolgimento (1)

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Svolgimento (3)

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