Esempi di problemi sul fascio di parabole
Esempio 1: Trovare il fascio avente fissati punti base.
Siano dati i punti
[math] \displaystyle A\Big(\frac{1}{2}, 1\Big) [/math]
e
[math] \displaystyle B(-1, 3) [/math]
: il problema che ci proponiamo di risolvere trovare quel
fascio di parabole che li ammette come punti base. Come sappiamo, le parabole che fanno parte di detto fascio sono tutte e sole quelle che passano sia per ? che per ?; una tale
parabola avrà generalmente equazione
[math] \displaystyle y=ax^2+bx+c [/math]
, con i coefficienti ?,?,? presi in maniera tale da consentire il passaggio per ? e ?.
Impostiamo perciò
[math] \displaystyle \begin{cases} 1=a\Big(\frac{1}{2}\Big)^2+b\Big(\frac{1}{2}\Big)+c \\ 3=a(-1)^2+b(-1)+c \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 1=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c \\ 3=a-b+c \end{cases} [/math]
Il sistema ottenuto è in tre incognite, ma ha solo due equazioni: non può quindi essere completamente determinato. Questo fatto non ci sorprende: se il sistema fosse stato tale da consentirci di trovare ununica terna ?,?,? allora sarebbe esistita solo una parabola per ? e ?, e sappiamo che non è vero. Dalle due equazioni date troviamo ? e ? in funzione di ?
[math] \displaystyle \begin{cases} a=\frac{10}{3}-2c \\ b=\frac{1}{3}-c \end{cases} \rightarrow y=\Big(\frac{10}{3}-2c\Big)x^2+\Big(\frac{1}{3}-c\Big)x+c [/math]
Per ogni valore di ?, l'equazione ottenuta è quella duna parabola, possibilmente degenere, passante per ? e ?. Sostituendo due valori qualsiasi di ? otteniamo due parabole che possono assumere il ruolo di generatrici del nostro fascio:
[math] \displaystyle c=\frac{2}{3} \rightarrow y=2x^2-\frac{x}{3}+\frac{2}{3} [/math]
[math] \displaystyle c=\frac{8}{3} \rightarrow y=-2x^2-\frac{7}{3}x+\frac{8}{3} [/math]
Combinandole con il parametro ? abbiamo infine il risultato:
[math] \displaystyle \Phi: y-2x^2+\frac{x}{3}-\frac{2}{3}+k\Big(y+2x^2+\frac{7}{3}x-\frac{8}{3}\Big)=0 [/math]
Esempio 2: Trovare il fascio avente fissati punto base e retta tangente.
Vogliamo adesso trovare l'equazione del fascio di parabole tangenti nell'origine alla retta ? di equazione
[math] \displaystyle y=\frac{5}{2}x [/math]
. In primo luogo notiamo che il problema è risolubile, poiché il punto di tangenza ? appartiene a ?; se invece ? non fosse stato un punto di ?, nessuna parabola avrebbe potuto esservi ivi tangente.
Notiamo prima di tutto che, non essendo ? una retta parallela all'asse ?, essa non può essere secante in un sol punto a nessuna parabola del tipo
[math] \displaystyle y=ax^2+bx+c [/math]
, per quanto generica. Quindi la condizione di tangenza si riduce a quella d'intersezione in un sol punto, per esprimere la quale imporremo
[math] \displaystyle \delta = 0 [/math]
nell'equazione risolutrice del sistema
[math] \displaystyle \begin{cases} y=ax^2+bx+c \\ y=\frac{5}{2}x \end{cases} \rightarrow \frac{5}{2}x-ax^2-bx-c=0 \rightarrow [/math]
[math] \displaystyle \rightarrow \Big(\frac{5}{2}-b\Big)^2-4ac=0 [/math]
Il fatto poi che tale tangenza avvenga proprio nell'origine si riduce all'appartenenza di ? alla parabola. Dunque l'equazione appena ottenuta va messa a sistema con la
[math] \displaystyle 0=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow c=0 [/math]
ottenendo
[math] \displaystyle \begin{cases} c=0 \\ \Big(\frac{5}{2}-b\Big)^2-4ac=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} c=0 \\ \Big(\frac{5}{2}-b\Big)^2=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} b=\frac{5}{2} \\ c=0 \end{cases} [/math]
Col che la generica parabola tangente nell'origine a ? avrà equazione
[math] \displaystyle y=ax^2+\frac{5}{2}x [/math]
. Se in tale equazione sostituiamo due valori qualsiasi, ma non nulli, di ?, otteniamo due parabole disponibili per il ruolo di generatrici del nostro sistema. Sostituendo ad esempio
[math] \displaystyle a=\pm 1 [/math]
, abbiamo
[math] \displaystyle y=x^2+\frac{5}{2}x \, \, \, \, , \, \, \, \, y=-x^2+\frac{5}{2}x \rightarrow [/math]
[math] \displaystyle \rightarrow \Phi: y-x^2-\frac{5}{2}x+k\Big(y+x^2-\frac{5}{2}x\Big)=0 [/math]
Esempio 3: Trovare il luogo dei vertici delle parabole di un fascio dato.
In questo esempio ci proponiamo di trovare l'equazione della curva composta da tutti e soli quei punti che sono vertici di qualche parabola appartenente ad un dato fascio
[math] \displaystyle \Phi [/math]
. Alle volte
esercizi del genere sono riferiti al fuoco anziché al vertice, ma il metodo risolutivo essenzialmente analogo.
Prendiamo ad esempio il fascio
[math] \displaystyle \Phi [/math]
ottenuto come risultato dall'esempio precedente, e riscriviamolo in modo da evidenziare i coefficienti dei termini con la ?:
[math] \displaystyle \Phi: y=\Big(\frac{1-k}{1+k}\Big)x^2+\frac{5}{2}x [/math]
Come sappiamo, il vertice di una parabola con asse verticale è
[math] \displaystyle V\Big(-\frac{b}{2a}, -\frac{\delta}{4a}\Big) [/math]
; dunque la generica parabola di
[math] \displaystyle \Phi [/math]
avrà vertice
[math] \displaystyle V\Big(-\frac{5/2}{2\Big(\frac{1-k}{1+k}\Big)}, -\frac{(5/2)^2}{4\Big(\frac{1-k}{1+k}\Big)}\Big) \rightarrow V\Big(-\frac{5(1+k)}{4(1-k)}, -\frac{25(1+k)}{16(1-k)}\Big) [/math]
Se conveniamo di chiamare ? la prima e ? la seconda coordinata del vertice, ci si scrive
[math] \displaystyle x=-\frac{5(1+k)}{4(1-k)} \, \, \, \, , \, \, \, \, y=-\frac{25(1+k)}{16(1-k)} [/math]
Di qui in avanti il nostro obbiettivo è riuscire a scrivere un'equazione che non contenga la ?, ma solo la ? e la ?: questo sarà il luogo geometrico richiesto. Normalmente ci si può ottenere risolvendo per ? una delle due equazioni e sostituendo il valore ottenuto nell'altra; qui ci limiteremo a notare che, calcolando il rapporto ?/?,
[math] \displaystyle \frac{y}{x}=\frac{25/16}{5/4}=\frac{5}{4} \rightarrow y=\frac{5}{4}x [/math]
Cosicché il luogo geometrico ricercato una retta.
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