Esempi di problemi sulla circonferenza
Esempio 1: Equazione della circonferenza dati il centro e il raggio
L'esercizio più semplice che ci possa capitare di risolvere consiste nello scrivere l'equazione di una circonferenza di dati raggio e centro. Un punto
[math] P [/math]
appartiene a detta circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro
[math] C [/math]
è pari a
[math] r [/math]
, per la definizione stessa di
circonferenza come luogo geometrico. Dunque impostando
[math] PC = r [/math]
, o il che è lo stesso
[math] PC^2 - r^2 = 0 [/math]
, avremo la soluzione.
Siano dati ad esempio
[math] \displaystyle r=\frac{\sqrt{7}}{2} [/math]
e
[math] \displaystyle C\Big(\frac{\sqrt{3}}{2} \Big) [/math]
, e seguiamo il ragionamento precedente
onde trovare l'equazione della circonferenza
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
. Se
[math] P [/math]
è il generico punto
[math] (x, y) [/math]
del piano, dalla scrittura
[math] PC^2 - r^2 = 0 [/math]
otteniamo
[math] \displaystyle (x-2)^2 + \Big(y - \frac{\sqrt{3}}{2} \Big)^2 - \frac{7}{4} = [/math]
[math] \displaystyle = 0 \rightarrow x^2 + + 4 - 4x + y^2 + \frac{3}{4} - \sqrt{3} y - \frac{7}{4} = 0 [/math]
Da cui infine
[math] \displaystyle x^2 + y^2 - 4x - \sqrt{3}y + 3 [/math]
. Come si vede, questo metodo fornisce sempre l'equazione della circonferenza
[math] \Gamma [/math]
direttamente in forma canonica.
Esempio 2: Determinare centro e raggio data l'equazione della circonferenza
Se ne abbiamo l'equazione, è possibile determinare qualsiasi informazione riguardo alla circonferenza
[math] \Gamma [/math]
da essa descritta, in particolare il centro e il raggio. Basta infatti ricordare le formule
[math] \displaystyle C\Big(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2} \Big) \, \, \, \text{ e } \, \, \, r = \sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2}{4}-\Gamma} [/math]
per applicare le quali per necessario prima portare l'equazione di
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
in forma canonica.
Si consideri ad esempio la circonferenza di equazione
[math] \displaystyle \Gamma: x^2+y^2-\frac{3}{2}x-7y+\frac{9}{16} = 0 [/math]
. In essa si ha
[math] \displaystyle \alpha=-\frac{3}{2}, \beta=-7 \text{ e } \Gamma = \frac{9}{16} [/math]
, dunque applicando le formule precedenti avremo
[math] \displaystyle C\Big(-\frac{\alpha}{2}, -\frac{\beta}{2} \Big) \rightarrow C\Big(\frac{3}{2}, \frac{7}{2} \Big) \, \, \, \text{ e } \, \, \, r = \sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2}{4}-\Gamma} = [/math]
[math] \displaystyle = \sqrt{\frac{\Big(-\frac{3}{2} \Big)^2+(-7)^2}{4}-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{49}{4}-\frac{9}{16}} = \frac{7}{2} [/math]
Esempio 3: Equazione della circonferenza dati il centro e un punto
Supponiamo adesso di aver fissato un punto
[math] P [/math]
appartenente alla circonferenza, e di sapere che il suo centro il punto ?; vogliamo, sulla base di questi dati, determinare l'equazione della circonferenza
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
. Un modo semplice di risolvere questo esercizio ridursi all'esempio 1, determinando preventivamente la lunghezza del raggio. Ciò non pone alcuna difficoltà, in quanto l'appartenenza di
[math] P [/math]
a
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
implica che
[math] PC = r [/math]
, e la lunghezza di
[math] PC [/math]
si determina senza problemi.
A titolo d'esempio si scelgano
[math] \displaystyle P(-1, 4) \text{ e } C\Big(0, \frac{13}{8} \Big) [/math]
. Usando la formula della distanza tra due punti e il ragionamento appena esposto, calcoliamo il raggio:
[math] \displaystyle r = PC = \sqrt{(-1-0)^2+\Big(4-\frac{13}{8} \Big)^2} = \sqrt{1+\Big(\frac{19}{8}\Big)^2} = [/math]
[math] \displaystyle = \sqrt{1+\frac{361}{64}} = \sqrt{\frac{425}{64}} = \frac{5\sqrt{17}}{8} [/math]
Come nell'esempio 1 la circonferenza è allora data dall'equazione
[math] \displaystyle (x-0)^2+\Big(y-\frac{13}{8} \Big)^2 = [/math]
[math] \displaystyle = \Big(\frac{5\sqrt{7}}{8} \Big)^2 \rightarrow x^2+y^2-\frac{13}{4}y+\frac{169}{64}-\frac{425}{64} = 0 [/math]
[math] \displaystyle x^2 + y^2 - \frac{13}{4}y - 4 = 0 [/math]
Esempio 4: Posizione di un punto rispetto a una circonferenza
Alle volte può essere utile riuscire a determinare la posizione di un punto dato rispetto a una circonferenza, ovvero dire se esso è interno alla circonferenza, esterno ad essa o le appartiene. Teoricamente l'esercizio è semplice: poiché per definizione la circonferenza il luogo dei punti che si trovano alla distanza
[math] r [/math]
dal centro
[math] C [/math]
, sarà sufficiente determinare la distanza del punto dato
[math] P [/math]
da
[math] C [/math]
. Se
[math] PC = r [/math]
il punto appartiene alla circonferenza per definizione; qualora invece
[math] \displaystyle PC \lt r [/math]
o
[math] \displaystyle PC \gt r [/math]
, diremo che il punto , rispettivamente, interno o esterno alla circonferenza.
Si prendano ad esempio la circonferenza
[math] \displaystyle \Gamma: x^2 + y^2 = 4 [/math]
e i tre punti
[math] \displaystyle P_1(1, 0), P_2(2,0) [/math]
e
[math] \displaystyle P_3(3,0) [/math]
. Applicando il metodo visto nell'esempio 2, concludiamo subito che il centro e il raggio di
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
sono rispettivamente
[math] C(0,0) [/math]
e
[math] r = 2 [/math]
; è anche facile dire, visto che il centro e i tre punti si trovano tutti sulla stessa ordinata, che
[math] \displaystyle OP_1 = 1, OP_2 = 2, \text{ e } OP_3 = 3 [/math]
.È allora chiaro che
[math] \displaystyle OP_1 \lt r \rightarrow P_1 \text{ interno a } \Gamma [/math]
[math] \displaystyle OP_2 = r \rightarrow P_2 \in \Gamma [/math]
[math] \displaystyle OP_3 \gt r \rightarrow P_3 \text{ esterno a } \Gamma [/math]
Esempio 5: Circonferenza per tre punti non allineati
Siano fissati tre punti A, B e C; il problema consiste nel trovare, se esiste, la circonferenza alla quale tutti e tre i punti dati appartengono. Si vede subito che ciò è impossibile se A, B e C giacciono sulla stessa retta, quindi per prima cosa troveremo la retta passante per A e B e verificheremo che C non le appartiene. Dopodiché, se il riscontro sarà positivo, scriveremo l'equazione della circonferenza generica.
[math] \displaystyle x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \Gamma = 0 [/math]
e sostituiremo la coordinate di A, B e C alle incognite
[math] x [/math]
e
[math] y [/math]
, ottenendo tre
equazioni in
[math] \displaystyle \alpha, \beta [/math]
e
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
che andranno messe a sistema. La soluzione del sistema consentirà di trovare in modo unico i tre parametri che definiscono la circonferenza, e il problema sarà risolto.
Prendiamo il caso, ad esempio, dei punti A(-2,-1), B(1, 4) e C(-1,-1). Come si vede, i tre punti non possono essere allineati; infatti A e C giacciono entrambi sulla retta
[math]y = 1 [/math]
, cui B non appartiene avendosi
[math] y_B = 4 [/math]
. Allora esiste effettivamente una circonferenza passante per i tre punti dati, ed essa è unica. Troviamola risolvendo il sistema
[math] \displaystyle \begin{cases} 4+1-2\alpha-\beta+\Gamma = 0 \\ 1+16+\alpha+4\beta+\Gamma = 0 \\ 1+1-\alpha-\beta+\Gamma = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -2\alpha - \beta+\Gamma = - 5 \\ \alpha+4\beta+\Gamma = -17 \\ -\alpha-\beta+\Gamma = -2 \end{cases} [/math]
Il sistema si risolve facilmente, poiché
[math] \displaystyle \Gamma [/math]
si può eliminare da due qualsiasi delle equazioni date; questa eventualità si verifica sempre, qualunque siano i punti A, B e C iniziali. La soluzione
[math] \displaystyle \alpha = 3, \beta = -\frac{21}{5}, \Gamma = -\frac{16}{5} \rightarrow x^2+y^2+3x-\frac{21}{5}y \frac{16}{5} = 0 [/math]
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