Dimostrazione del teorema della circoferenza

Teorema: "Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza."

Dimostrazione: Si parte con la rappresentazione di tre punti non allineati sul piano

[math]A,B,C[/math]
. A questo punto congiungiamo
[math]A[/math]
con
[math]B[/math]
e tracciamo l'asse del segmento ottenuto
[math]AB[/math]
che interseca quest'ultimo ortogonalmente essendo l'asse il luogo geometrico dei punti che fanno sì che la retta sia perpendicolare al segmento
[math]AB[/math]
e ciascun punto preso su tale asse è equidistante dagli estremi
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
. Analogo discorso per quanto riguarda il segmento
[math]BC[/math]
. L'intersezione degli assi è detto circocentro. Infatti, se congiungiamo anche il punto
[math]C[/math]
con il punto
[math]A[/math]
otterremo un triangolo poiché dati tre punti non allineati si riesce ad ottenere la costruzione di un triangolo; gli assi si incontrano nel circocentro (mentre se fossero stati paralleli, allora i tre punti si sarebbero trovati allineati). Con apertura di compasso
[math]OA[/math]
, dove
[math]O[/math]
è il punto d'intersezione degli assi (
[math]AB=\{O|OA=OB\}[/math]
). Il punto
[math]O[/math]
appartiene anche all'asse del segmento
[math]BC[/math]
poiché i due assi s'intersecano nello stesso punto, quindi
[math]OB=BC[/math]
, ma essendo
[math]OB=OA[/math]
per la funzione precedente, per transitività anche
[math]OA=OC[/math]
e pertanto
[math]O[/math]
è equidistante da
[math]A,B,C[/math]
quindi appartiene alla circonferenza di centro
[math]O[/math]
. Essendo rette che s'intersecano, è unico il loro punto d'intersezione, quindi è unico il centro equidistante dagli estremi dei segmenti.

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