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La circonferenza

y

P (x;y)

x

CP = √(x-x0)2 + (y-y0)2 ; √(x-x0)2 + (y-y0)2 = r (ho sostituito CP = r)

Quindi (√(x-x0)2 + (y-y0)2)2 = r2;

(x-x0)2 + (y-y0)2 = r2 Equazione della circonferenza assegnato il centro (le sue coordinate) ed il raggio

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Sintesi

La circonferenza

Definizione ed esercizio

1) Dicesi circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

(Trovate l'equazione della circonferenza nel file allegato con figura)

Esercizio: "Trovare l'equazione della circonferenza sapendo che C(2;3) sono le coordinate del centro e che il raggio r=5".

[math](x-2)^2 + (y-3)^2 = 25[/math]

[math]x^2 + 4 - 4x + y^2 + 9 - 6y - 25 = 0[/math]

[math]x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0[/math]
Equazione della circonferenza

Circonferenza con centro nell'origine

2) Questa invece è l'equazione della circonferenza con centro nell'origine degli assi:

[math]x^2 + y^2 = r^2[/math]

Equazione canonica della circonferenza

3) Da qui possiamo poi ricavarci anche l'equazione canonica della circonferenza:

[math](x-x_o)^2 + (y-y_o)^2 = r^2[/math]

[math]x^2 + x_o^2 - 2x_o x + y^2 + y_o^2 - 2y_o y - r^2 = 0[/math]

[math]x^2 + y^2 - 2x_o x - 2y_o y + x_o^2 + y_o^2 - r^2 = 0[/math]

Ponendo

[math]-2x_o = a,\qquad -2y_o = b,\qquad x_o^2 + y_o^2 – r^2 = c[/math]

Avrò:

[math]x^2 + y^2 - ax - bx + c = 0[/math]
Equazione canonica della circonferenza

Condizione per rappresentare una circonferenza

4) Un'equazione di 2° grado in due variabili rappresenta una circonferenza quando i termini di 2° grado

[math]x^2,\ y^2[/math]
hanno lo stesso coefficiente o coefficiente uguale a 1 (equazione canonica), oppure quando manca il termine
[math]xy[/math]
.

Esempi

[math]x^2 + 3y^2 - 5x - 4y + 1 = 0[/math]
No! Coefficiente diverso.

[math]3x^2 + 3y^2 - 4xy + 5 = 0[/math]
No! Per il termine in
[math]xy[/math]
.

[math]x^2 + y^2 - 4x - 6y - 23 = 0[/math]
Sì! Anche perché:

[math](-a/2)^2 + (-b/2)^2 - c \ge 0[/math]

Esercizi svolti nel trovare 2) e 3)

N° 1

[math]C(4;2) , r=6[/math]

[math](x-xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2[/math]

[math](x-4)^2 + (y-2)^2 = 36[/math]

[math]x^2 + 16 - 8x + y^2 + 4 - 4y - 36 = 0[/math]

[math]x^2 + y^2 - 8x - 4y - 16 = 0[/math]

N° 2

[math]C(3/2;1/2) , r=\sqrt{2}[/math]

[math](x-3/2)^2 + (y-1/2)^2 = (\sqrt{2})^2[/math]

[math]x^2 + 9/4 - 6/2x + y^2 + 1/4 - 2y - 2 = 0[/math]

[math]x^2 + 6/2x + y^2 - 2y + 1/2 = 0[/math]

[math]2x^2 + 2y^2 - 6x - 2y + 1 = 0[/math]

N° 3

[math]r=5 , C=O(0,0)[/math]

[math]x^2 + y^2 = r^2[/math]

[math]x^2 + y^2 = (5)^2[/math]

[math]x^2 + y^2 = 25[/math]

N° 4

[math]r=4/3 , C=O(0,0)[/math]

[math]x^2 + y^2 = 16/9[/math]

[math]9x^2 + 9y^2 = 16[/math]

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