di Funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche
Lo scopo di questo appunto è quello di illustrare attraverso un esercizio guidato, come utilizzare le trasformazioni geometriche per tracciare il grafico di una funzione sinusoidale qualsiasi, a partire dalla funzione elementare.
Disegniamo il grafico della seguente funzione:
[math]y= sin (x+\frac{ \pi }{2})-1[/math]
Una funzione sinusoidale ha un equazione del tipo:
[math] y= A sin (\omega x+\varphi)[/math]
oppure
[math] y= A cos (\omega x+\varphi)[/math]
In cui i parametri
[math]A, \omega, \varphi \in R.
Essi identificano i seguenti parametri:
A: ampiezza della funzione
[math]\omega[/math]
è la pulsazione[math]\varphi[/math]
è lo sfasamento o fase inizialeIl periodo T è dato da:
[math]T=\frac{2\pi}{\omega}[/math]
La funzione seno è periodica di periodo
[math]2\pi[/math]
, quindi possiamo scrivere:[math] A sin (\omega x+\varphi)= A sin (\omega x+\varphi +2k\pi) [/math]
[math] A sin (\omega x+\varphi)= A sin [(\omega x +2k\pi)+\varphi] [/math]
[math] A sin (\omega x+\varphi)= A sin [\omega( x +k\frac{2\pi}{\omega})+\varphi] [/math]
[math]T=\frac{2\pi}{\omega}[/math]
[math] y= sin (x+\frac{ \pi }{2})-1[/math]
La funzione trasla sia orizzontalmente che verticalmente.
Componente orizzontale della traslazione:
[math]-\frac{\pi }{2}[/math]
Il grafico si sposta verso sinistra del piano cartesiano.
Componente verticale della traslazione:
[math]-1[/math]
Il grafico si sposta verso il basso nel piano cartesiano.
Il vettore completo di traslazione è dato da:
[math]\overrightarrow{v}= \big(-\frac{\pi }{2};-1\big) [/math]
Ecco in figura il grafico ottenuto dopo aver applicato la trasformazione:
