In questo appunto di matematica si trattano alcune funzioni trigonometriche particolari e la costruzione del loro grafico tramite trasformazioni particolari.
Lo scopo di questo appunto è quello di illustrare attraverso un esercizio guidato ed una breve introduzione teorica come utilizzare le trasformazioni geometriche per tracciare il grafico di una funzione sinusoidale qualsiasi, a partire dalla funzione elementare.
Funzioni goniometriche elementari
Si consideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy e sia data la circonferenza goniometrica di raggio R = 1 e centro O; si consideri su di essa un punto P che muovendosi in senso antiorario individua l’angolo\alpha
[/math]
Sia H il piede della perpendicolare condotta da P rispetto all’asse delle x; considerato il triangolo rettangolo PHO, rettangolo in H, definiremo il seno dell’angolo
\alpha
[/math]
sen\alpha = \frac{PH}{PO}.
[/math]
Mentre definiremo coseno dell’angolo
\alpha
[/math]
cos\alpha = \frac{OH}{PO}.
[/math]
Le funzioni
sen\alpha
[/math]
cos\alpha
[/math]
Sono funzioni periodiche ossia tali che dopo un dato intervallo, chiamato periodo, si ripetono esattamente allo stesso modo, riassumendo gli stessi valori.
Se l’angolo
\alpha = 0
[/math]
PH = 0
[/math]
OH = 1
[/math]
quindi
sen\alpha = \frac{0}{1}
[/math]
cos\alpha = \frac{1}{1}
[/math]
ossia
sen\alpha = 0
[/math]
cos\alpha = 1.
[/math]
Se
\alpha = \frac{\pi}{2}
[/math]
PH = 1
[/math]
OH = 0
[/math]
quindi
sen\alpha = \frac{1}{1}
[/math]
cos\alpha = \frac{0}{1}
[/math]
ossia
sen\alpha = 1
[/math]
cos\alpha = 0.
[/math]
Se l’angolo
\alpha = \pi
[/math]
PH = 0
[/math]
OH = -1
[/math]
quindi
sen\alpha = \frac{0}{1}
[/math]
cos\alpha = \frac{-1}{1}
[/math]
ossia
sen\alpha = 0
[/math]
cos\alpha = -1.
[/math]
Se l’angolo
\alpha = \frac{3\pi}{2}
[/math]
PH = -1
[/math]
OH = 0
[/math]
quindi
sen\alpha = \frac{-1}{1}
[/math]
cos\alpha = \frac{0}{1}
[/math]
ossia
sen\alpha = -1
[/math]
cos\alpha = 0.
[/math]
Se l’angolo
\alpha = 2\pi
[/math]
PH = 0
[/math]
OH = 1
[/math]
quindi
sen\alpha = \frac{0}{1}
[/math]
cos\alpha = \frac{1}{1}
[/math]
ossia
sen\alpha = 0
[/math]
cos\alpha = 1.
[/math]
Da questo punto in poi le due funzioni elementari seno e coseno si ripetono esattamente allo stesso modo, riassumendo gli stessi valori, per cui si può concludere che il periodo di tali funzioni è
T = 2\pi.
[/math]
Osservando i valori che assumono i cateti del triangolo rettangolo PHO si può asserire che:
- nel primo quadrante, [math], le funzioni seno e coseno sono entrambe positive;
0 [/math] - nel secondo quadrante, [math], la funzione seno è positiva mentre la funzione coseno è negativa;
\frac{\pi}{2} [/math] - nel terzo quadrante, [math], la funzione seno e la funzione coseno sono entrambe negative;
\pi [/math] - nel quarto quadrante, [math], la funzione seno è negativa, mentre la funzione coseno è positiva.
\frac{3\pi}{2} [/math]
Trasformazioni geometriche
Noti i grafici delle funzioni goniometriche elementari si possono ottenere i grafici di altre funzioni legate a quelle elementari mediante le seguenti trasformazioni:- traslazioni;
- simmetrie;
- dilatazioni;
- contrazioni.
y = f(x),
[/math]
possiamo tracciare il grafico della funzione
y = n f(\frac{x}{m} + p) + q
[/math]
in base alle seguenti considerazioni:
- se mcontrazione orizzontale del grafico;
- se m>1 avremo una dilatazione orizzontale del grafico;
- se ncontrazione verticale del grafico;
- se n >1 avremo una dilatazione verticale del grafico;
- se ptraslazione orizzontale verso le x crescenti (destra) del grafico;
- se p>0 avremo una traslazione orizzontale verso le x decrescenti (sinistra) del grafico;
- se qtraslazione verticale verso le y decrescenti del grafico;
- se q>0 avremo una traslazione verticale verso le y crescenti del grafico.
Le funzioni trigonometriche che ci apprestiamo a descrivere sono del tipo:
y = A sen(\omega x + \varphi) + \gamma
[/math]
y = A cos(\omega x + \varphi) + \gamma
[/math]
dove
A,
[/math]
\omega,
[/math]
\varphi
[/math]
\gamma
[/math]
Tali funzioni si chiamano sinusoidali e trovano applicazione in molti argomenti della fisica (moto armonico, onde, oscillatori, ecc).
Tali funzioni esistono per ogni valore della variabile dipendente x; mentre il codominio della funzione è l’insieme individuato da
[- |A|; |A|]
questo significa che il valore della funzione è compreso fra due estremi.
Il valore
A
[/math]
\omega
[/math]
\varphi
[/math]
Tali funzioni hanno la caratteristica di essere periodiche, ossia, dopo un certo intervallo si ripetono uguali, riassumendo gli stessi valori. Il valore di tale intervallo viene chiamato periodo, T:
T = \frac{2 \pi}{\omega}.
[/math]
Per dimostrare tale proprietà consideriamo la funzione seno, che sappiamo essere periodica, di periodo
2\pi.
[/math]
Possiamo scrivere che:
A sen(\omega x + \varphi + 2k\pi) + \gamma = A sen(\omega x + \varphi) + \gamma
[/math]
da cui
A sen[(\omega x + 2k\pi) + \varphi] = A sen(\omega x + \varphi)
[/math]
quindi otteniamo
A sen[\omega (x + k \frac{2\pi}{\omega} ) + \varphi] = A sen(\omega x + \varphi)
[/math]
da cui possiamo ricavare che
T = \frac{2 \pi}{\omega}.
[/math]
Esercizio guidato
Sia data la funzione sinusoidaley = sen(x + \frac{\pi}{2}) − 1
[/math]
di cui si vuole disegnare il grafico applicando i concetti sopra esposti.
Per il caso preso in esame si ha che:
A = 1
[/math]
\omega = 1
[/math]
\varphi = \frac{\pi}{2}
[/math]
\gamma = -1.
[/math]
Quindi i valori che la funzione assume sono compresi nell’intervallo [-1;+1], ossia la funzione oscilla fra -1 e +1.
Il valore della pulsazione,
\omega
[/math]
y = senx
[/math]
Il valore dello sfasamento
\varphi
[/math]
\frac{\pi}{2}
[/math]
Mentre il valore di
\gamma
[/math]
In generale diremo che tutti i punti della funzione subiscono una trasformazione secondo il vettore
\overrightarrow{v} = \big(-\frac{\pi }{2};-1\big)
[/math]
ossia ogni punto del grafico della funzione
y = senx
[/math]
per ulteriori approfondimenti sulle funzioni sinusoidali vedi anche qua
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